Abiturfrage Geometrie Tetraeder

Question

Aufgabe

b3) Volumen eines Tetraeders

Text erkannt:

In Abbildung 1 ist ein regelmäßiges Tetraeder ABCD mit den Eckpunkten A $(0|0| 0)$, $\mathrm{B}(10|10| 0), \mathrm{C}(10|0| 10)$ und $\mathrm{D}(0|10| 10)$ in einem kartesischen Koordinatensystem abgebildet.

Abbildung 1
Punkte
a) (1) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.
4
(2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC und den Oberflächeninhalt des Tetraeders ABCD.
4
(3) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte eines Würfels mit dem Volumen $\mathrm{V}=1000 \mathrm{VE}$ an, der das Tetraeder enthält.
4
b) (1) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf, in der das Dreieck ABC liegt.
[Mögliche Lösung: $\mathrm{E}:-\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}=0$ ]
4
(2) Stellen Sie die Dreiecksfläche ABC in einer Parameterform dar.
3
(3) Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders ABCD.
4

Ansatz/ Problem

Ich habe für diese Aufgabe einfach die Formel für die Berechnung der Volumen eines Tetraeders verwendet, die Wurzel 2 / 12 * a³ lautet. Ich bin auf dasselbe Ergebnis gekommen wie in der Musterlösung. Allerdings wurde dort ein deutlich längerer Lösungsweg verwendet: Es wurde die Volumenformel A =1/3 * G * h  genutzt, wobei die Höhe mithilfe der Hesseschen Normalform berechnet wurde. Ich verstehe diesen Rechenweg und kann ihn auch anwenden. Meine Frage ist jedoch: Reicht es im Abitur aus, die Formel direkt zu verwenden, wenn das Ergebnis korrekt ist, oder muss ich den vollständigen Lösungsweg angeben, um die volle Punktzahl zu erhalten?

Comments

Jedenfalls musst Du nachweisen, dass der Tetraeder gleichseitig ist.

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Das habe ich schon in der Aufgabe a1 gemacht

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In der Aufgabenstellung steht das es ein regelmäßiger Tetraeder ist. Dann muss man das nicht nachweisen.

Und in a) wurde nur gezeigt, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist.

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Ja- ich hatte die Info "regelmäßiger" übersehen.

Answer 1

Hallo und guten Abend Joudihhuhu,

das ist ja mal eine wirklich sehr gute Frage!

Leider weiß ich auch nicht, ob deine Antwort reicht. Meiner Meinung nach sollte sie sicher reichen müssen, wenn du die benutzte Formel angibst.

Viel Erfolg im anstehenden Abitur! :-)

Answer 2

Wenn du zufällig die Volumenformel für einen regelmäßigen Tetraeder kennst, darfst du die auch verwenden.

Besonders schön wäre es, wenn du es über Vektoren mit dem Spatprodukt (Kreuzprodukt und Skalarprodukt) berechnen würdest. Dann hat das sogar etwas mit analytischer Geometrie zu tun.

V = 1/6·([10, 0, 10] ⨯ [10, 10, 0])·[0, 10, 10] = 1000/3 ≈ 333.3 VE

Das ist aber Wunschdenken, weil selbst die Musterlösung es nicht so macht.

Comments

Besonders schön wäre es

Ich finde die Überlegung, dass vom Würfel aus a.3 vier Pyramiden abgeschnitten werden (die Schnittflächen sind die Seitenflächen des Tetraeders), um das Tetraeder zu erhalten und diese vier Pyramiden jeweils als Grundfläche eine halbe Würfelfläche und als Höhe eine Würfelkante haben, also V_Tetr = 1000 - 4 * 1/3 * 50 *10  viel schöner.

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Unter a3) hätte der Schüler das je bereits fast gemacht.

Und ich bestreite nicht, dass das arbeitsschonend und pfiffig ist. Aber damit zeigt man eben nicht, dass sich das auch mithilfe der analytischen Geometrie berechnen lässt.

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Der Ansatz über die Hesse'sche Normalform ist genau jener Ansatz der analytischen Geometrie, der hier mehr als zielführend ist. Das Spatprodukt steht in der Regel gar nicht auf dem Lehrplan.

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Hallo

im Zweifelsfall würde ich im abi die Formel verwenden, schon um Zeit zu sparen, aber das dazuschreiben und wenn Zeit über ist die Formel herleiten wobei G*H/3 als Standard und bekannt gilt.

Grußlul