Konvergenz Reihen könnte jemand das kontrollieren und bei f wusste ich nicht wie das weitergeht

Question

Text erkannt:

Wurzel kriturium
\( \begin{array}{l} \text { (a) } \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(2 k+1)^{3} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{k+1}}=\sum \limits_{-\infty}^{k} \sqrt[k]{\frac{(-1)^{k}(2 k+1) \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{k-1}}}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|(-1)^{k}\right|} \cdot \sqrt[k]{\left|\frac{(2 k+1)^{k}}{k}\right|} \cdot \sqrt[k]{\frac{5^{k}}{6^{k} \cdot 5 \cdot 5}} \end{array} \)
(b) \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{1+k} \)
\( 1+k>\sqrt{k} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{k}}{1+k}<1 \) Die Reihe ist Konerget

Quotienten Kriterin
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{k^{k}\left(1+\frac{0}{k}\right)}{k^{k}} \cdot \frac{(k+1) k!}{k!!} \cdot \frac{5^{k}}{5^{k}} \cdot \frac{1}{|-5|} \cdot \frac{(\sqrt{2})^{2 / k+k}}{(\sqrt{2})^{2 k+5^{2}}}=\frac{\stackrel{\infty}{\vec{k}+1}}{5 \cdot 2}=\infty \\ \infty>1 \text { also Divergent } \end{array} \)
(d) \( \lim \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k^{3}}{k^{3}+k^{2}} \quad k^{3}<k^{3}+k^{2} \) also \( \frac{k^{3}}{k^{3}+k^{2}}<1 \) also tonvergent

Wherel Kriterium
\( \begin{array}{l} (e_{k=0}^{k} \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{\frac{k^{k+1}}{(k+1)^{k}}}= \pm \sqrt[k]{1(-1)^{k}} \cdot \sqrt[k]{2^{k} \cdot 2} \cdot \underbrace{\frac{k}{k^{2}}}_{\overrightarrow{2}} \cdot \sqrt[k]{\frac{1}{(k-1)^{k}}}=l_{k \rightarrow \infty} 1 \cdot 2 \cdot \underbrace{\sqrt[k]{2}}_{\overrightarrow{2}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{k+1}=\frac{2}{k+1} \\ \frac{2}{k+1}<1 \text { konvergiest } \end{array} \)
(f) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+\frac{(-1)^{k}}{k}}{k \sqrt{k}}=\frac{1}{k \sqrt{k}}+\frac{(-1)^{k}}{k^{2} \sqrt{k}} \)
\( \frac{1}{k \sqrt{x}}<1 \) konvergiest \( \frac{(-1)^{k}}{k^{2} \sqrt{k}} \) leibrizkniterin

Comments

Du schreibst unter a)

$$\lim_{k \to \infty}\sum_{k=2}^{\infty} a_k=\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}$$

Das ist formal völliger Unsinn.

Bei b) schreibst Du
$$a_k<1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{   konvergent}$$

Das ist ein falscher Schluss, ein solches Kriterium gibt es nicht.

Im übrigen wurden diese Aufgaben in einem anderen Thread bearbeitet. Ich schlage vor, dass Du Dich damit auseinandersetzt und dann gezielt für einzelne Aufgabe sagst, wo Du Hilfe brauchst.

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Hier wurden dieselben Aufgaben gerechnet:

https://www.mathelounge.de/1103469/wurzelkriterium-richtig-angewendet?show=1103502#c1103502