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Aufgaben H.11.1 / H.11.2

Betrachten Sie die lineare Abbildung
$$ f : \mathbb{R}^{3} : \rightarrow \mathbb{R}^{3} \text { mit } f\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-x+3 y+z} \\ {-x+y-2 z} \\ {2 y+3 z} \end{array}\right) \text { sowie } $$
die Basen \( \mathscr{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)\right\} \) und \( \mathscr{B}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-1} \\ {0}\end{array}\right)\right\} \operatorname{des} \mathbb{R}^{3} \)
(a) Geben Sie die Matrix \( \mathscr{M}(f, \mathscr{E}, \mathscr{E}) \) an, wobei \( \mathscr{E} \) die kanonische Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bezeichnet. Bestimmen Sie die Dimension von Kern \( f \) und geben Sie eine Basis des Kerns an.
(b) Geben Sie die Matrixdarstellung von \( f \) bezüglich der Basen \( \mathscr{B}_{1} \) und \( \mathscr{B}_{2} \) an. Bestimmen Sie dazu die Matrizen \( S \) und \( R \) mit \( \mathscr{M}\left(f, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right)=R^{-1} \mathscr{M}(f, \mathscr{E}, \mathscr{E}) S \)
(c) Sei \( v_{\mathscr{B}_{1}}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1} \\ {1}\end{array}\right) \quad \) der Koordinatenvektor von \( v \in \mathbb{R}^{3} \) zur Basis \( \mathscr{B}_{1} . \) Berechnen Sie den Vektor \( f(v)_{\mathcal{B}_{2}}, \) d.h. den Bildvektor \( f(v) \) zur Basis \( \mathscr{B}_{2}, \) sowohl direkt als auch mithilfe der Gleichung \( f(\boldsymbol{v})_{\mathcal{B}_{2}}=\mathscr{M}\left(f, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right) \boldsymbol{v}_{\mathscr{B}_{1}} \)


Aufgabe H.11.3

(a) Betrachten Sie die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( f\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 x+y} \\ {y+3 z} \\ {x+z}\end{array}\right) \) sowie die
Basen \( \mathscr{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)\right\}, \mathscr{B}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {2} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)\right\} \) und die kanoni-
sche Basis \( \mathscr{E} \) des \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie die Matrizen \( \mathscr{M}\left(f, \mathscr{E}, \mathscr{B}_{2}\right) \) und \( \mathscr{M}\left(f, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right) \)
(b) Gegeben sei die Basis \( \mathscr{B}_{1}=\left\{1, x, x^{2}\right\} \) von \( \mathbb{P}_{2}, \) die Basen \( \mathscr{B}_{2}=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} \) und \( \mathscr{B}_{3}=\left\{1+x, x+x^{2}, x^{2}, x^{3}\right\} \) von \( \mathbb{P}_{3} \) sowie die lineare Abbildung \( G: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{P}_{3} \)
\( G(p(x))=(x+1) \cdot p(x) . \) Bestimmen Sie die Matrizen \( \mathscr{M}\left(G, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{2}\right) \) und \( \mathscr{M}\left(G, \mathscr{B}_{1}, \mathscr{B}_{3}\right) \)


Aufgabe H.11.4
Zeigen Sie, dass die Matrix \( A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {\sqrt{2}} \\ {-1} & {1} & {\sqrt{2}} \\ {-\sqrt{2}} & {-\sqrt{2}} & {0}\end{array}\right) \) eine Drehung des \( \mathbb{R}^{3} \) beschreibt, und bestimmen Sie Drehachse und Drehwinkel.

Aufgabe H.11.5
Bestimmen Sie alle orthogonalen Matrizen der Form \( A=\left(\begin{array}{ccc}{\frac{1}{2}} & {-\frac{1}{2}} & {-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {*} & {*} & {-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {*} & {*} & {-\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \) und
prüfen Sie jeweils ob es sich um eine Drehung oder Umlegung handelt.


Problem/Ansätze:

Bei Aufgabe 11.1a) muss man ja erstmal die funktion f(x,y,z) in eine Matrix umwandeln.

-1   3    1          - 2. Zeile      0    2     3               1. u. 3. Gleichung linear abhäning

-1   1    -2                                        -1   1     -2

0     2     3                                        0     2     3

->  -1    1    -2  (• -1)     -> 1   -1    -2                            ->   1   -1    - 2

       0    2    3                       0   2     3       1.+2. Zeile          1    1      1

                                                                                                                   ???

da weiß ich z.B. nicht wie ich das Ergebnis in der 3. Zeile hinbekomme, Vorausgesetzt was ich gemacht habe ist überhaupt richtig...

Bei b und c hab ich leider garkeinen Ansatz.

und so wie ich es verstehe müsste Aufgabe H11.3 genauso gehen.

Bei H.11.4 habe ich ja bereits von "Lu" Hilfe bekommen, vielen dank schonmal dafür :)

A (transponiert) mal A.                        1    -1     -√2                 1    -1    √2

                                           1/2·1/2         -1    1      -√2        •      -1     1     √2

                                                                 √2    √2     0                   -√2   -√2   0

ich weiß nicht warum bei mir die transponierte matrix A = matrix A ist,...

das Ergebnis würde bei mir sein

= 4    0     0

   0     4     0

   0     0     4

und die Determinante ist bei mir ist 1/2·1/2 · det A=2 und somit würde keine Drehung bzw Umlegung bei herauskommen.

und die H.11.5 müsste ja so ähnlich funktionieren, oder?

Es wäre nett wenn sich wieder= jemand bereiterklären würde mir Hilfe zu leisten.

Ich müsste die Sachen bis 18.01.2013 fertig haben und wäre sehr sehr dankbar :)

von

Bei Aufgabe 11.1a) muss man ja erstmal die funktion f(x,y,z) in eine Matrix umwandeln.

-1   3    1          - 2. Zeile      0    2     3               1. u. 3. Gleichung linear abhäning

-1   1    -2                                        -1   1     -2

0     2     3                                        0     2     3

Die erste und die 2. Zeile sind nun aber bestimmt linear uanbhängig. D.h. die Dimension des Bildes ist 2.

Folglich ist die Dimension des Kerns 1.

Jetzt würde ich

Matrix A mal Vektorsenkrecht (x,y,z) gleich Vektorsenkrecht (0,0,0)  hinschreiben

und x,y,z berechnen. (einen Wert davon kannst du als 1 annehmen, z.B. x=1, bei einem Widerspruch nimmst du y=1).  (x, y, z)senkrecht  ist dann eine Basis des Kerns.

Nachher brauchst du wohl die Theorie zu Basistransformationen.


Nachtrag:

Zur 4. Aufgabe: Von einer transponierten Matrix hatte ich eigentlich nichts erwähnt. Sieht aber gar nicht so schlecht aus.

Die Zahlen in der ersten Aufgabe kommen mir bekannt vor. Ist das vielleicht die gleiche Frage, die über Weihnachten schon mal bei jemandem aktuell war?

Bei H.11.4 habe ich ja bereits von "Lu" Hilfe bekommen, vielen dank schonmal dafür :)

A (transponiert) mal A.                        1    -1     -√2                 1    -1    √2

                                           1/2·1/2         -1    1      -√2        •      -1     1     √2

                                                                 √2    √2     0                   -√2   -√2   0

ich weiß nicht warum bei mir die transponierte matrix A = matrix A ist,...

ganz gleich sind die beiden Matrizen nicht (Vorzeichen).

Bei der Multiplikation A*AT multiplizierst du jeden Zeilenvektor der ursprünglichen Matrix mit jedem andern und sich selbst. Die Nullen Zeigen dir, das die Vektoren gegenseitig senkrecht aufeinander stehen. Die 4en musst du noch mit 1/4 multiplizieren, damit du weisst, was das Quadrat der Längen der ursprünglichen Spaltenvektoren war. (vgl. unten) 

das Ergebnis würde bei mir sein

= 4    0     0

   0     4     0

   0     0     4

und die Determinante ist bei mir ist 1/2·1/2 · det A=2

Der Faktor 1/4 bezieht sich auf alle Matrixelemente. Deshalb erst mal 1/4 mal deine Diagonalmatrix rechnen. Dann bekommst du die Einheitsmatrix und die hat die Determinante 1. Das Vorzeichen + zeigt dir, dass die 3 Vektoren ein Rechtssystem bilden.

und somit kommt eine Drehung heraus.

Herzlichen Dank Lu für deine erläuterungen was ich falsch gemacht habe, bzw was noch gefehlt hat :)

aber ganz falsch lag ich ja zum glück doch nicht, aber hat dennoch so einiges gefehlt...

leider kann ich dir glaube ich nichts vergeben, oder etwa doch? :)

2 Antworten

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Beste Antwort

H.11.4

A * AT = E

Det(A) = 1

Damit handelt es sich um eine Drehmatrix

Die Drehachse ist Eigenvektor zum Eigenwert 1

A * v = v

Ich habe folgende Lösung v = [1, -1, 0]

Wenn ich jetzt den Drehwinkel bestimmen will nehme ich einen zur Drehachse orthogonalen Vektor z.B. [1,1,0] und bestimme jetzt den Vektor nach der Drehung

A * [1,1,0] = [0, 0, -√2]

Nun den Winkel zwischen den Vektoren bestimmen.

a = arccos(([1,1,0] * [0, 0, -√2]) / (√2 * √2)) = 90 Grad

Man kann aus den komplexen Lösungen der Eigenwerte auch noch recht einfach den Drehwinkel bestimmen.

von 317 k 🚀
+2 Daumen

Berechnung der Richtung der Drehachse nach deiner Formel (A-E) v = 0

Beachte: 1/2 muss hier zuerst in A reingerechnet werden, bevor E subtrahiert wird.

$$ \left( \begin{matrix} \frac { -1 }{ 2 }  & \frac { -1 }{ 2 }  & \frac { \sqrt{2} }{ 2 }  \\ \frac { -1 }{ 2 }  & \frac { -1 }{ 2 }  & \frac { \sqrt{2} }{ 2 }  \\ \frac { -\sqrt{2} }{ 2 }  & \frac { -\sqrt{2} }{ 2 }  & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ x=1\quad wählen\\ \begin{matrix} \frac { -1 }{ 2 }  & +\frac { -1 }{ 2 } y\quad + & \frac { \sqrt{2} }{ 2 } z\quad =\quad 0 \\ \frac { -1 }{ 2 } + & \frac { -1 }{ 2 } y\quad + & \frac { \sqrt{2} }{ 2 } z\quad =\quad 0 \\ \frac { -\sqrt{2} }{ 2 } \quad + & \frac { -\sqrt{2} }{ 2 } y\quad  & -z\quad =0 \end{matrix}\\ \\ \begin{matrix} \quad  & \quad  & \quad  \\ -1 & -y\quad + & \sqrt{2}\quad z\quad =\quad 0 \\ -\sqrt{2}\quad + & -\sqrt{2}\quad y\quad  & -2z\quad =0 \end{matrix}\\ \\ \begin{matrix} \quad  & \quad  & \quad  \\ -\sqrt{2} & -\sqrt{2}\quad y\quad + & 2\quad z\quad =\quad 0 \\ -\sqrt{2}\quad  & -\sqrt{2}\quad y\quad  & -2z\quad =0 \end{matrix}\\ 0\quad +\quad 0\quad +\quad 4z\quad =\quad 0\\ z\quad =\quad 0\\ einsetzen\\ -\sqrt{2}\quad -\quad \sqrt{2}\quad y\quad =\quad 0\\ y\quad =\quad -1\\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$


Das ist wie im Kommentar besprochen dasselbe wie die Lösung von Av = v. Fortsetzung: Mathecoach's Lösung. 

Mathecoach rechnet statt mit deiner Formel ( A- E)v= 0 mit  Av = v.

Das ist dasselbe, da ( A- E)v= Av - Ev = Av - v =0.

In Av = v sieht man direkt, was geschehen muss: Der Vektor v in Achsenrichtung schaut nach der Drehung mit A immer noch in die gleiche Richtung und ist auch noch gleich lang wie vorher.
Egal, wie du auflöst: Du kannst eine Koordinate von v beliebig wählen (ausser sie ist 0) und dann die andern beiden berechnen.

von 158 k 🚀

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