Wie lautet der größtmögliche Definitionsbereich einer Funktion

Question

Aufgabe:

Es sei g: D → reelle Zahl gegeben durch die Reihe:

g(x)= $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}(n²+1)x^{2n+1}}{n!}$$ 

Problem/Ansatz:

(1)Wie bestimmt man bei solchen Aufgaben einen möglichst großen Definitionsbereich D ⊂ R für g.

(2)Wie kann ich direkt mit der Definition des Funktionsgrenzwerts zeigen, dass limx→0 g(x)/x = 2 gilt.

Comments

a) Schau in Deinen Unterlagen unter Konvergenzradius nach, das ist elemenrar zu wissen.

b) ziehe 1\x unter die Summe und schau, was für x=0 übrig bleibt (nur der Term für n=0)

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schau, was für x=0 übrig bleibt

Meinst du das wirklich so ?

Answer 1

(2) Wie kann ich direkt mit der Definition des Funktionsgrenzwerts zeigen, dass lim x→0 g(x)/x = 2 gilt.

$$g(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n+1}}{n!} \newline \frac{g(x)}{x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n}}{n!} \newline \frac{g(x)}{x}=\frac{2^{0+1}(0^2+1)x^{2 \cdot 0}}{0!} + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n}}{n!} \newline \frac{g(x)}{x}= 2 + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n}}{n!}$$

Für n ≥ 1 ist lim x-->0 x^{2n} = 0 und damit fällt die Summe unter den Tisch.