Wie lautet der größtmögliche Definitionsbereich einer Funktion

Question

Aufgabe:

Es sei g: D → reelle Zahl gegeben durch die Reihe:

g(x)= $$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}(n²+1)x^{2n+1}}{n!}$$ 

Problem/Ansatz:

(1)Wie bestimmt man bei solchen Aufgaben einen möglichst großen Definitionsbereich D ⊂ R für g.

(2)Wie kann ich direkt mit der Definition des Funktionsgrenzwerts zeigen, dass limx→0 g(x)/x = 2 gilt.

Comments

a) Schau in Deinen Unterlagen unter Konvergenzradius nach, das ist elemenrar zu wissen.

b) ziehe 1\x unter die Summe und schau, was für x=0 übrig bleibt (nur der Term für n=0)

---

schau, was für x=0 übrig bleibt

Meinst du das wirklich so ?

---

Ich hatte es etwas kurz formuliert aber ja. Etwas länger wäre: bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe g(x), dieser ist z.B. mittels Quotientenkriterium ∞. Also konvergiert die PR auf ganz ℝ.

Damit darf bei g(x)/x das x unter die Summe gezogen werden, ergibt neue Potenzreihe mit x²ⁿ

Diese hat auch den Konvergenzradius ∞, also darf ich limes gegen Null und Summenzeichen vertauschen. Von der unendlichen Rehe bleibt dann nur der erste Term für n=0 übrig.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x)\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{2^{n\red{+1}}(n^2+1)}{n!}\cdot x^{2n\green{+1}}=\red2\green x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n^2+1}{n!}(2x^2)^n$$

Wir teilen diese Summe in 3 Teilsummen auf. Weiter unten werden wir sehen, dass jede dieser 3 Teilsummen für alle \(x\in\mathbb R\) konvergiert, sodass diese Aufteilung erlaubt ist.:$$f(x)=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)+n}^{=n^2}+1}{n!}\cdot(2x^2)^n$$$$\phantom{f(x)}=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n(n-1)}{n!}(2x^2)^n+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{n!}(2x^2)^n+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(2x^2)^n$$

Die Summanden für \(n=0\) und \(n=1\) verschwinden in der ersten Summe, da der Zähler null ist. Der Summand für \(n=0\) verschwindet in der zweiten Summe, da der Zähler null ist:$$\phantom{f(x)}=2x\sum\limits_{n=\pink2}^\infty\frac{n(n-1)}{n!}(2x^2)^n+2x\sum\limits_{n=\pink1}^\infty\frac{n}{n!}(2x^2)^n+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(2x^2)^n$$

Wir kürzen Zähler und Nenner in den ersten beiden Summen:$$\phantom{f(x)}=2x\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-2)!}(2x^2)^n+2x\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n-1)!}(2x^2)^n+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(2x^2)^n$$

und führen Index-Verschiebungen durch:$$\phantom{f(x)}=2x\sum\limits_{n=2\pink{-2}}^\infty\frac{(2x^2)^{n\pink{+2}}}{((n\pink{+2})-2)!}+2x\sum\limits_{n=1\pink{-1}}^\infty\frac{(2x^2)^{n\pink{+1}}}{((n\pink{+1})-1)!}+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(2x^2)^n$$$$\phantom{f(x)}=2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2x^2)^n\cdot(2x^2)^2}{n!}+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2x^2)^n\cdot(2x^2)}{n!}+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2x^2)^n}{n!}$$$$\phantom{f(x)}=2x(2x^2)^2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2x^2)^n}{n!}+2x(2x^2)\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2x^2)^n}{n!}+2x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2x^2)^n}{n!}$$$$\phantom{f(x)}=8x^5\cdot e^{2x^2}+4x^3\cdot e^{2x^2}+2x\cdot e^{2x^2}$$$$\phantom{f(x)}=2x(4x^4+2x^2+1)\cdot e^{2x^2}$$

Jede der drei Teilsummen konvergiert für alle \(x\in\mathbb R\). Daher konvergiert auch \(f(x)\) für alle \(x\in\mathbb R\) gegen den angegebenen Funktionswert.

Du siehst nun auch sofort, dass:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\left[2(4x^4+2x^2+1)\cdot e^{2x^2}\right]_{x=0}=2\cdot1\cdot1=2$$

Answer 2

(2) Wie kann ich direkt mit der Definition des Funktionsgrenzwerts zeigen, dass lim x→0 g(x)/x = 2 gilt.

$$g(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n+1}}{n!} \newline \frac{g(x)}{x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n}}{n!} \newline \frac{g(x)}{x}=\frac{2^{0+1}(0^2+1)x^{2 \cdot 0}}{0!} + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n}}{n!} \newline \frac{g(x)}{x}= 2 + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n^2+1)x^{2n}}{n!}$$

Für n ≥ 1 ist lim x-->0 x^{2n} = 0 und damit fällt die Summe unter den Tisch.

Comments

Der letzte Satz ist mathematisch unzulänglich. Es liegt hier eine begründungspflichtige Vertauschung von zwei Grenzwertprozessen vor, nämlich Konvergenz der Partialsummenfolge und Grenzübergang für x. Z.B. könnte man mit dem Stichwort Potenzreihe arbeiten.

---

Auch für den ersten Summanden bedarf es einer Begründung