Aloha :)
zu a) Die Differenz von zwei nicht-negativen Zahlen ist immer kleine gleich deren Summe:$$\sqrt a-\sqrt b\le\sqrt a+\sqrt b\quad\Longleftrightarrow\quad+(\sqrt a-\sqrt b)\le\sqrt a+\sqrt b$$$$\sqrt b-\sqrt a\le\sqrt a+\sqrt b\quad\Longleftrightarrow\quad-(\sqrt a-\sqrt b)\le\sqrt a+\sqrt b$$Das können wir zusammenfassen als:$$|\sqrt a-\sqrt b|\le\sqrt a+\sqrt b=|\sqrt a+\sqrt b|$$Die zu zeigende Ungleichung folgt daraus mittels der dritten binomischen Formel:$$|\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt{|\sqrt a-\sqrt b|\cdot\pink{|\sqrt a-\sqrt b|}}\pink{\le}\sqrt{|\sqrt a-\sqrt b|\cdot\pink{|\sqrt a+\sqrt b|}}=\sqrt{|a-b|}$$
zu b) Du sollst die Stetigkeit der Funktion \(g(x)=\sqrt x\) mit \(D=\mathbb R^{\ge0}\) an einer beliebigen Stelle \(a\in D\) zeigen. Dazu wähle ein \(\varepsilon>0\) beliebig aus und halte es fest. Wähle passend dazu ein \(\delta>0\) aus, in diesem Fall bietet sich \(\delta\coloneqq\varepsilon^2\) an, und zeige, dass der Abstand zwischen \(f(x)\) und \(f(a)\) garantiert kleiner als \(\varepsilon\) ist, wenn der Abstand zwischen \(x\) und \(a\) kleiner als \(\delta\) ist:$$\pink{|x-a|<\delta}\implies |g(x)-g(a)|=|\sqrt x-\sqrt a|\stackrel{\text{Teil (a)}}{\le}\sqrt{\pink{|x-a|}}\pink<\sqrt{\pink{\delta}}=\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon\quad\checkmark$$
