Fläche Parallelogramm und Rechteck

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 5 cm und 4 cm sowie \( \alpha=70^{\circ} \).

a) Gib die Größe des Winkels \( \beta \) an. (Skizze nicht maßstabsgerecht)

b) Max behauptet: „Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von \( 20 \mathrm{~cm}^{2} \)." Begründe, dass diese Aussage nicht stimmen kann.

Problem/Ansatz:

Mir gehts um b) ich verstehe, das die Formel für Fläche vom Parallelogramm Grundlinie mal Höhe ist und nicht 20 wie beim Rechteck. Jetzt stell ich mir vor, die oberen Ecken nach links zu drehen bis ich ein Rechteck mit den Seiten 4 und 5 habe. Das verstehe ich nicht, dann müßte die Fläche doch 20 sein?

Comments

Wenn ich Dich richtig verstehe, ist Dein Problem, dass dann die Fläche vom Parallelogramm doch 20 sein müßte?

Der Gedankenfehler liegt darin, dass das Drehen der beiden oberen Eckpunkte die Fläche der gegebenen Figur verändert und sie nicht gleich bleibt, wie Du anscheinend vermutest.

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Ja genau, ich habe mir so  bewegliche Gelenke vorgestellt und dachte wenn ich das in ein Rechteck verbiegen kann, wie paßt das mit der fläche

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Gute Überlegung, Du hast ja schon selber gemerkt, dass irgendwo ein Denkfehler sein muß. Der liegt darin, dass das Drehen Deiner Gelenke tatsächlich die Figur verformt und sich daher seine Fläche verändert, man sagt dazu die Verformung ist nicht flächentreu, auch wenn man zuerst denken könnte, sie bliebe gleich.

Answer 1

Drehe dann noch 90 Grad weiter, und Du hast ein Rechteck mit Länge 9 und Höhe 0.

Du sollst aber nicht drehen.

Schneide in einer senkrechten Linie ausgehend von der unteren rechten Ecke ein Dreieck ab, und füge das an die linke Seite an. Dann hast Du ein Rechteck mit Länge 5 und Höhe < 4.

Comments

Ich weiß. Aber warum darf ich schneiden aber nicht drehen?

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Weil das Schneiden den Flächeninhalt nicht ändert (gemäss Döschwos Pizzalemma), das Drehen aber schon (letzteres geht aus dem ersten Satz meiner Antwort hervor).

Döschwos Pizzalemma:

Egal in wieviele Sütcke man eine Pizza zerteilt, man bekommt immer nur mehr Stücke, aber nicht mehr Pizza.

Answer 2

Jetzt stell ich mir vor, die oberen Ecken nach links zu drehen bis ich ein Rechteck mit den Seiten 4 und 5 habe. Das verstehe ich nicht, dann müßte die Fläche doch 20 sein?

Das ist richtig.

Vielleicht bei dieser Überlegung auch deutlich, dass sich die für seinen Flächeninhalt auch wichtige Höhe des Parallelogramms durch deine Opreation größer wird.

Answer 3

b) ich verstehe, das die Formel für Fläche vom Parallelogramm Grundlinie mal Höhe ist und nicht 20 wie beim Rechteck. Jetzt stell ich mir vor, die oberen Ecken nach links zu drehen bis ich ein Rechteck mit den Seiten 4 und 5 habe. Das verstehe ich nicht, dann müßte die Fläche doch 20 sein?

Hier eine Skizze, damit es dir klarer wird. Du solltest erkennen, dass das Rechteck eine größere Höhe hat als das Parallelogramm.