Berechnen Sie den Schnittpunkt der Ebene mit der orthogonalen Geraden durch den Punkt Q(16|17|11).

Question

Aufgabe:

13. Spiegelung eines Punktes

Gegeben sind die Punkte A (12|-3|-3), B (9|9|0) und C (9|0|9).

a) Stellen Sie eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C auf.

b) Prüfen Sie, ob P(8|7|7) in E liegt.

c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Ebene E mit der orthogonalen Geraden g durch den Punkt Q(16|17|11).

d) Der Punkt Q wird an der Ebene E gespiegelt. Ermitteln Sie den Spiegelpunkt Q'.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der C) nicht weiter und die d) verstehe ich auch nicht. Bei C) krieg ich  0,05 Periode raus aber ob das so stimmt bezweifle ich.

Comments

Bei C) krieg ich 0,05 Periode raus

Was hast Du da gerechnet? Verlangt werden die drei Koordinaten des Schnittpunkts.

Aber bereits bei a) hat es Fehler, denn

der Vektor \(\overrightarrow{AB} \) ist nicht \( \begin{pmatrix} -3\\12\\-3 \end{pmatrix} \) sondern \( \begin{pmatrix} -3\\12\\3 \end{pmatrix} \)

und der Vektor \(\overrightarrow{AC} \) ist nicht \( \begin{pmatrix} -3\\-3\\12 \end{pmatrix} \) sondern \( \begin{pmatrix} -3\\3\\12 \end{pmatrix} \).

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Was hast Du denn für g heraus bekommen in Teil c)?

Answer 1

Den Richtungsvektor der orthogonalen Geraden erhält man als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren der Ebene als

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} -3\\12\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3\\3\\12 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\1\\1 \end{pmatrix} \cdot 27\)

und die Geradengleichung dann als

\( g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 16\\17\\11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5\\1\\1 \end{pmatrix}\)

Löse das Gleichungssystem

\(\underbrace{\begin{pmatrix} 12\\-3\\-3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3\\12\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3\\3\\12 \end{pmatrix}}_{\text{Ebene}} = \underbrace{\begin{pmatrix} 16\\17\\11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5\\1\\1 \end{pmatrix}}_{\text{Gerade}} \)

und setze \( t \) in die Geradengleichung ein.

Answer 2

Bereits bei a) habe ich abweichende Ergebnisse. Prüf das doch mal bitte.

a)

AB = [9, 9, 0] - [12, -3, -3] = [-3, 12, 3]
AC = [9, 0, 9] - [12, -3, -3] = [-3, 3, 12]

E: X = [12, -3, -3] + r·[-3, 12, 3] + s·[-3, 3, 12]

n = [-3, 12, 3] ⨯ [-3, 3, 12] = 27·[5, 1, 1]

E: (X - [12, -3, -3])·[5, 1, 1] = 0

E: 5·x + y + z = 54

b)

5·8 + 7 + 7 = 54 → Der Punkt liegt in E.

c)

g: X = [16, 17, 11] + t·[5, 1, 1] = [5·t + 16, t + 17, t + 11]

in E einsetzen

5·(5·t + 16) + (t + 17) + (t + 11) = 54 → t = -2

S = [16, 17, 11] - 2·[5, 1, 1] = [6, 15, 9]

d)

Q' = [16, 17, 11] - 4·[5, 1, 1] = [-4, 13, 7]