Transformationsformel für Mehrfachintegrale.

Question

Aufgabe:

Transformationsformel für Mehrfachintegrale. Meine Frage ist warum man die Determinante der Jacobi Matrix verwendet, um das Flächenelemente anzupassen.

Problem/Ansatz:

Leider nichts im Vorlesungsskript gefunden. Auch im Internet nichts für mich verständliches gefunden.

Comments

Die Koordinatentransformation \( \Phi:(u, v) \mapsto(x(u, v), y(u, v)) \) ist in der Regel nichtlinear. Aber für infinitesimale Rechtecke in den \( (u, v) \)-Koordinaten (mit Seitenlängen \( d u \) und \( d v \) ) kann man \( \Phi \) mit der Jacobi-Matrix linear approximieren.

\( \Delta \mathbf{x} \approx J_{\Phi} \cdot \Delta \mathbf{u} \)
Die Determinante kommt dann durch den Flächeninhalt ins Spiel, der Betrag weil dieser immer positiv ist.

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das ihre Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufspannen. Beim Übergang von einem Koordinatensatz \((x_k)\) zu einem anderen \((y_k)\) berücksichtigt sie daher die "Verzerrung" der Volumenelemente zueinander:$$dx_1\cdot dx_2\cdots dx_n=\underbrace{\frac{\partial(x_1;x_2;\ldots;x_n)}{\partial(y_1;y_2;\ldots;y_n)}}_{\text{Funktional-Determinante}}\cdot dy_1\cdot dy_2\cdots dy_n$$