Die Koordinatentransformation \( \Phi:(u, v) \mapsto(x(u, v), y(u, v)) \) ist in der Regel nichtlinear. Aber für infinitesimale Rechtecke in den \( (u, v) \)-Koordinaten (mit Seitenlängen \( d u \) und \( d v \) ) kann man \( \Phi \) mit der Jacobi-Matrix linear approximieren.
\( \Delta \mathbf{x} \approx J_{\Phi} \cdot \Delta \mathbf{u} \)
Die Determinante kommt dann durch den Flächeninhalt ins Spiel, der Betrag weil dieser immer positiv ist.