Bestimmen Sie die Parameter a, b und c der gesuchten Parabel.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 \).

Gesucht ist eine Parabel in der Form \( g(x)=a x^{2}+b x+c \), deren Parameter \( a, b, c \) so bestimmt werden sollen, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Der Graph von \( g(x) \) berührt den Graphen von \( f(x) \) im Punkt \( P(1 \mid 0) \).
2. Die Fläche, die im Intervall \( [0,2] \) zwischen den beiden Graphen eingeschlossen wird, beträgt 2 Flächeneinheiten.

Bestimmen Sie g(x) und alle Schnittpunkte von \( f \) und \( g \).

Wie gehe ich das an?

Answer 1

1. Berühren heißt, dass Funktionswerte und Steigungen im gegebenen Punkt übereinstimmen, also \(f(1)=g(1)\) und \(f'(1)=g'(1)\).

2. Die Fläche zwischen den Graphen lässt sich mit \(\left|\int\limits_0^2\!f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x\right|\) berechnen, sofern es in diesem Intervall keine weiteren Schnittpunkte der Graphen gibt. Ansonsten muss man das Intervall noch unterteilen. Prüfe also vorher, ob das notwendig ist. Beachte dazu 1.

Stelle damit also die notwendigen Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.

Answer 2

1. Bedingungsgleichungen aufstellen. Im Ansatz hat da ja schon jemand geholfen.

2. Bedingungsgleichungen lösen.

Es gibt zwei mögliche Parabeln, von denen du nur eine angeben sollst.

~plot~ x^3-3x^2+2;3x^2-9x+6;-3x^2+3x;[[-2|4|-7|7]] ~plot~