Bestimmen Sie die Parameter a, b und c der gesuchten Parabel.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 \).

Gesucht ist eine Parabel in der Form \( g(x)=a x^{2}+b x+c \), deren Parameter \( a, b, c \) so bestimmt werden sollen, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Der Graph von \( g(x) \) berührt den Graphen von \( f(x) \) im Punkt \( P(1 \mid 0) \).
2. Die Fläche, die im Intervall \( [0,2] \) zwischen den beiden Graphen eingeschlossen wird, beträgt 2 Flächeneinheiten.

Bestimmen Sie g(x) und alle Schnittpunkte von \( f \) und \( g \).

Wie gehe ich das an?

Comments

Kann jemand bitte den Rechenweg vormachen?

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Also ich komme bis

 \( a+b+c=0\)
 \( 2 a+b=-3 \).

aber wie geht es jetzt weiter mit der Fläche?

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Das habe ich in meiner Antwort doch erläutert. Was ist daran unklar?

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Eigentlich alles :-(

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Du weißt wie man die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmt?

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Ich versteh nur Bahnhof von dem was ihr schreibt. Was soll ich nun prüfen und wie genau mache ich das?

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Ich würde das so erklären:

Schau die Skizze in der Antwort von Mathecoach an. Eine Parabel, die f(x) am genannten Punkt berührt, geht entweder nach oben auf (bei ihm rot eingezeichnet) oder nach unten (grün). Eine Parabel hat 3 Koeffizienten (üblicherwise a, b und c geheißen) und darum braucht es drei Gleichungen, um sie zu bestimmen. Zwei davon hast Du schon (an der Stelle x = 1 gleicher Funktionswert, gleiche Steigung). Bis dahin ist die Parabel unterbestimmt; die rote und die grüne Parabel an diesen Berührpunkt können noch "breiter" oder "schmaler" sein. Die dritte Gleichung ist mit dem Integral von 0 bis 2. Für die rote gesuchte Parabel ist der Wert der Differenzfunktion g(x) - f(x) und für die grüne Parabel f(x) - g(x). Damit vermeidet man alle verwirrlichen Überlegungen zum Absolutwert.

Und diese beiden Gleichungssysteme mit je drei Gleichungen in a, b und c haben als Lösung die beiden gesuchten Parabeln, welche die Bedingungen erfüllen.

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Ich versteh nur Bahnhof von dem was ihr schreibt. Was soll ich nun prüfen und wie genau mache ich das?

Dann beantworte die Fragen, die man dir stellt:

Du weißt wie man die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmt?

Wenn du das nämlich nicht weißt, ist klar, wieso du nur Bahnhof verstehst.

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Das Problem mit dem Ansatz ist, das es weitere Parabeln geben könnte, die die gegebene Funktion wie gewünscht in P(1,0) berühren, aber zusätzlich noch irgendwo zwischen 0 und 2 schneiden. Und solange man nicht weiß, das dies nicht der Fall ist, darf man die Beträge nicht nach außen ziehen.

Die Aufgabe ist kniffliger, als sie auf den ersten Blick aussieht.

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Ja ich weiß wie man die fläche zwischen zwei Kurven ausrechnet.

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Ja ich weiß wie man die fläche zwischen zwei Kurven ausrechnet.

Gut. Was hindert dich daran, diesen Ansatz für die Funktionen \(f\) und \(g\) durchzuführen und das Integral gleich 2 zu setzen? Sicherlich stößt man auf dem Weg dorthin noch auf das ein oder andere Problem, aber es geht ja auch erst einmal darum, überhaupt einmal anzufangen, um solche möglichen Probleme zu identifizieren. Daran kann man dann anknüpfen.

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Das hab ich ja die ganze Zeit probiert, aber die vielen Unbekannten machen das so unübersichtlich. Aber vor allem weiß ich nicht wie ich prüfen kann ob es weitere schnittpunkte gibt wenn man das noch erst tun muß.

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Es sind nur drei. Das ist nicht besonders viel.

Schaue die Graphik von Benutzer Mathecoach an und erkenne, dass es im Intervall von 0 bis 2 keine Schnittpunkte gibt.

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Er soll die Lösung verwenden, um die Lösung zu bestimmen?

Nochmal: Es könnte weitere Parabeln mit Schnittstellen geben.

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Hallo Karosieben: Damit Du etwas von der Aufgabe hast, schlage ich vor. Du nimmst zunächst an, dass es eine Lösung gibt mit \(f(x)\geq g(x)\) auf [0,2], und bestimmst eine solche Lösung. Dann sehen wir weiter.

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Aber vor allem weiß ich nicht wie ich prüfen kann ob es weitere schnittpunkte gibt wenn man das noch erst tun muß.

Wenn man das sehr sauber mathematisch machen möchte, muss man das natürlich vorher prüfen. Wenn man das nicht macht, nimmt man einfach an, es gäbe keine weiteren Schnittstellen. Dann muss man aber am Ende unbedingt die Probe machen! Vermutlich wird deswegen auch gefordert, dass man zusätzlich noch alle Schnittpunkte bestimmen soll.

Da die Aufgabe nur eine Parabel verlangt, wäre man dann an dieser Stelle fertig.

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Hallo Mathhilf, ich habe das wie von Dir vorgeschlagen gemacht und nach mehreren Versuchen bin ich dann auf die dritte Gleichung

\( 8-\frac{8}{3}(3+a)-2 b-2 c=2\) gekommen und dann tatsächlich auf die erste Parabel g₁(x) = -3x² + 3x

Dann habe ich direkt mal f ≤ g auf [0,2] angenommen, das Vorzeichen gedreht und dann g₂(x) = 3x² - 9x + 6 erhalten.

Jetzt fehlen mir nur noch die Schnittpunkte mit f und was passiert wenn die Annahmen nicht passen.

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Wenn die Annahmen nicht passen, ist die so gefundene Parabel eben keine Lösung der Aufgabe. Über solche Fragen sollte man sich aber auch erst Gedanken machen, wenn dem auch so ist. Wenn man sich schon vorher alle Szenarien überlegt, die irgendwie passieren könnten, dann fängt man einfach nie mit der Aufgabe an.

Und wie du jetzt siehst, hättest du die Aufgabe auch selbstständig lösen können. Du hast dir nur selbst Steine in den Weg gelegt. Denn offenbar besitzt du ja das notwendige Wissen. Deswegen für die Zukunft: Fang erst einmal an, bevor du dir vorher Gedanken über Probleme machst, die auftreten könnten. Wenn wirklich ein Problem auftritt, kann man sich immer noch überlegen, wie man damit umgeht.

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Hallo Karosieben, Du hast natürlich völlig recht, wenn man sich mit den gefundenen Lösungen und Annahmen nicht zufrieden geben möchte (es war ja nur eine Parabel gefordert) muß man noch prüfen ob es möglicherweise weitere Parabeln gibt, die die geforderten Bedingungen erfüllen, aber f im Intervall [0/2] irgendwo schneiden. Das ist allerdings durchaus mit etwas Arbeit verbunden.

Was die weiteren Schnittpunkte der beiden gefundenen Parabeln mit f angeht, mag Polynomdivision oder Faktorisierung hilfreich sein.

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Vielleicht noch ein Ansatz für die ausstehenden Fragen: Die Differenz f-g ist ein Polynom vom Grad 3 mit eine doppelten Nullstellen bei x=1 und führendem Koeffizienten 1, daher
$$f(x)-g(x)=(x-a)(x-1)^1$$

mit der Nullstelle a. Nun ist zu unterscheiden, ob a links oder rechts von [0,2] liegt (kein Vorzeichenwechsel in [0,2]) - das hast Du ja erledigt, oder eben, ob a in (0,2) liegt. Dann muss das Integral zur Flächenberechnung aufgeteilt werden. (Für das Integral bietet sich die Substitution y=x-1 an.)

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\((x-1)^2\) muss es heißen.

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Ja, danke. Kann ich wohl nicht mehr ändern

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Falls es interessiert, hier mein Ansatz (vielleicht gibt es elegantere und ich hoffe er ist ohne Fehler).

Ich habe zuerst durch die  beiden ersten Bedingungen, die Du auch hattest, die Parameter b und c durch a ausgedrückt. Das ergibt für die gesuchte Parabel die Form:

 \( g(x)=a x^{2}+(-3-2 a) x+(a+3) \)

Ich betrachte nun die Differenzfunktion \( h(x)=f(x)-g(x) \):
\( h(x)=\left(x^{3}-3 x^{2}+2\right)-\left(a x^{2}+(-3-2 a) x+(a+3)\right)=x^{3}-(a+3) x^{2}+(2 a+3) x-(a+1) \)

Da sich \( g(x) und  f(x) \) bei \( x=1 \) berühren, ist \( x=1 \) eine doppelte Nullstelle von h(x). Damit ergibt sich nach Umformung \( h(x)=(x-1)^{2}(x-(a+1)) \).

Die Fläche zwischen den Graphen im Intervall \( [0,2] \) ist gegeben durch:
\( \int \limits_{0}^{2}|h(x)| d x=\int \limits_{0}^{2}\left|(x-1)^{2}(x-(a+1))\right| d x=2 \)
Die Beträge gehören unter das Integral!

Da \( (x-1)^{2} \geq 0 \) für alle \( x \), gilt:
\( |h(x)|=(x-1)^{2}|x-(a+1)| \)

Somit gilt:
\( \int \limits_{0}^{2}(x-1)^{2}|x-(a+1)| d x=2 \)

Jetzt muß man Fallunterscheidungen für \( a+1 \) machen.

a) wenn (a+1) ≤ 0 ist, ist der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen immer positiv und man erhält die Parabel g₁(x) = -3x² + 3x

b) wenn (a+1) ≥ 2 ist, ist der Ausdruck immer negativ und man erhält g₂(x) =  3x² - 9x + 6

Nun der komplizierte Fall:

c) wenn \( 0<(a+1)<2 \) oder anders geschrieben \( -1<a<1 \) ist, muß man das Integral in zwei zerlegen mit einem Zwischenwert d ∈ [0/1].

Für die beiden entstehenden Integrale kann man dann jeweils die Beträge auflösen und erhält schlußendlich

 \( (a+1)^{4}-4 (a+1)^{3}+6 (a+1)^{2}-4 (a+1)-8=0 \).

Hier löst sich nun dankenswerterweise alles in Wohlgefallen auf und vereinfacht sich zu

 \( a^{4}=9 \).

Die Lösungen sind a=\( \sqrt{3} \) bzw. a=-\( \sqrt{3} \) die beide nicht -1<a<1 erfüllen.

Daher gibt es in diesem Fall keine Lösung und somit keine weiteren Parabelnl

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Vielen Dank user26605, da wär ich aber nie darauf gekommen

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Ist auch gar nicht erforderlich.

Answer 1

1. Bedingungsgleichungen aufstellen. Im Ansatz hat da ja schon jemand geholfen.

2. Bedingungsgleichungen lösen.

Es gibt zwei mögliche Parabeln, von denen du nur eine angeben sollst.

~plot~ x^3-3x^2+2;3x^2-9x+6;-3x^2+3x;[[-2|4|-7|7]] ~plot~

Answer 2

1. Berühren heißt, dass Funktionswerte und Steigungen im gegebenen Punkt übereinstimmen, also \(f(1)=g(1)\) und \(f'(1)=g'(1)\).

2. Die Fläche zwischen den Graphen lässt sich mit \(\left|\int\limits_0^2\!f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x\right|\) berechnen, sofern es in diesem Intervall keine weiteren Schnittpunkte der Graphen gibt. Ansonsten muss man das Intervall noch unterteilen. Prüfe also vorher, ob das notwendig ist. Beachte dazu 1.

Stelle damit also die notwendigen Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem.

Comments

Korrekt sollte es

\( \int \limits_{0}^{2}|f(x)-g(x)| d x \)

heißen.

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Habe das bewusst anders geschrieben, da sonst unklar ist, wie man das Integral einer Betragsfunktiom bestimmt.

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Das ist nicht ‚anders‘, das ist i.A. und insbesondere auch in diesem Falle falsch.

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Das ist nicht ‚anders‘, das ist i.A. und insbesondere auch in diesem Falle falsch.

Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.

Apfelmännchen schrieb:

sofern es in diesem Intervall keine weiteren Schnittpunkte der Graphen gibt.

Und in dem Fall kann man tatsächlich  \(\left|\int\limits_0^2\!f(x)-g(x)\,\mathrm{d}x\right|\)  verwenden ...

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Auch schrieb ich:

Ansonsten muss man das Intervall noch unterteilen.

Mich interessiert an dieser Stelle nicht der allgemeine Fall, sondern der hier vorliegende Fall.

insbesondere auch in diesem Falle falsch.

Ist es nicht.

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Solange nicht gezeigt wurde, dass man nicht unterteilen muß, darf man die Betragsstriche nicht herausziehen.

Genauer gesagt schriebst Du

Ansonsten muss man das Intervall noch unterteilen. Prüfe also vorher, ob das notwendig ist. Beachte dazu 1.

Da würde mich doch mal interessieren, wie Du das geprüft hast mit Beachtung von 1.

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Das habe ich an keiner Stelle behauptet. Ich habe sogar aufgefordert, dies zunächst zu prüfen.

Da würde mich doch mal interessieren, wie Du das geprüft hast mit Beachtung von 1.

Ich habe nicht gesagt, dass ich das geprüft habe. Das überlasse ich ja dem FS. Unter Beachtung von 1 bedeutet, dass man bereits die Berührstelle kennt. Zusätzlich kann man die Symmetrie von \(f\) im Intervall \([0; 2]\) um den Punkt \(P(1;0)\) ausnutzen.

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Dann war die Antwort zumindest äußerst unklar und nicht hilfreich.

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Ich habe keine Ahnung, was da für dich an der Antwort unklar bzw. nicht hilfreich ist. Ach ja, ist keine vollständige Lösung, stimmt. Tut mir leid!

Es steht da, was zu tun ist. Wenn man bei einem konkreten Punkt dann nicht weiterkommt, hakt man eben nach. Auch, wenn etwas unverständlich ist.

Ich denke nicht, dass dem FS die im Allgemeinen korrekte Schreibweise hier weitergeholfen hätte. Dann wäre nämlich sicherlich unklar, wie man das Integral einer Betragsfunktion berechnet. Das wird in der Schule aber nicht gelehrt. Das Integral entsprechend aufzuteilen und dann die Beträge der einzelnen Integrale zu addieren, hingegen schon.

Meine Antworten sollen erst einmal eine Idee liefern und nicht die gesamte Aufgabe vorrechnen.