Mit welchen Verfahren ist es möglich, p und k direkt und nicht iterativ zu bestimmen?

Question

Aufgabe:               q² = 4 * (k * M - S) + 5  ;      q, k, M, S ∈ ℕ
…

Problem/Ansatz:

Ich bin über eine Aufgabe gestolpert, die ich nicht (direkt) berechnet bekomme. Die Aufgabe lautet: q² = 4 * (k * M - S) + 5  UND q, k, M, S ∈ ℕ. Außerdem sind M und S immer bekannt, aber q und k sind immer unbekannt. Ich finde die Lösung immer nur iterativ und erst dann, wenn ich bei der Lösung angekommen bin. Hier sind ein paar Wertebeispiele, die leicht getestet werden können. Mit welchen Verfahren ist es möglich, p und k direkt und nicht iterativ zu bestimmen (Differenzengleichung, Abstandsquadrate, …)?
z.B.     q     k   M     S        
Fall 1: 11     1    39    10         
Fall 2: 31     3    87    22       
Fall 3: 37     4    91    23           
Fall 4: 79   16    99    25           
Fall 5: 83   12   153  115           
Fall 6: 37     2   195   49                 
Fall 7: 163 18   385  289           
Über einen kompletten Lösungsweg zu einen der Fälle, würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Hallo setze   k * M - S=n und löse q^2-5=n dann daraus q.

lul

Comments

Hallo lul und danke für die schnelle Antwort, nur verstehe ich sie nicht. Um aus k * M - S ein n zu bilden, muss doch auch das k bekannt sein, oder. Das n dann gleich q²-5 zu setzen und über die quadratische-Formel (pq-Formel) zu lösen, wäre nicht schwer. Es sind aber p und k gleichzeitig unbekannt! Nur das M und das S sind bekannt (daher die Beispiele) und damit es nicht zu einfach wird,  ... q, k, M, S ∈ ℕ.

Answer 2

Die angegebene Gleichung, eine nichtlineare diphantische Gleichung, kann man nicht eindeutig nach \( k \) und \( q \) auflösen. Es gibt nämlich für vorgegebenen Zahlen \( M \) und \( S \) mehrere Lösungen. Z.B. wenn \( M = 39 \) und \( S = 10 \) ist, dann erfüllen die Werte

$$ \begin{pmatrix} q \\ k \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  11 & 1 \\ 37 & 9 \\ 41 & 11 \\ 67 & 29 \\ 89 & 51  \end{pmatrix} $$

auch die Gleichung $$ q^2 = 4 \cdot \left( k \cdot M - S \right)+ 5 $$

Insofern muss man eine solche Gleichung iterativ lösen.

Comments

Hallo 3XL,

das sind leider keine guten Nachrichten. Aber wenn Vollprofis keine Lösung finden, dann gibt es keine. Trotzdem herzlichen Dank für die Bemühungen.

Gruss Jan