Welcher Term muss dann mit dem Taschenrechner berechnet werden, um F zu bestimmen?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das bestimmte Integral

\(F=\int \limits_{0}^{1} x^{3} \cdot \ln (x) d x\)

1) Bestimmen sie eine Stammfunktion.

2) Welcher Term muss dann mit dem Taschenrechner berechnet werden, um F zu bestimmen.

Problem/Ansatz:

Ich kann Aufgabe 1 lösen, doch bei Aufgabe 2 bin ich mir unsicher, was genau gemeint ist. Wäre es vielleicht möglich, dass mir jemand behilflich sein kann?

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Welchen TR benutzt du?

Du musst nur die Stammfunktion und die Grenzen eingeben, wenn das möglich ist.

Hier ein Rechner, wo das so sehr einfach geht:

https://www.integralrechner.de/

Er spukt als Ergebnis aus: -1/16

Answer 1

Die Stammfunktion mit dem Argument 1, minus die Stammfunktion mit dem Argument 0.

Comments

Diese Antwort ist womöglich falsch.

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Der Artikel vor 'Stammfunktion' in der Aufgabenstellung lautet aus gutem Grund 'eine'.

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Der Frage kann entnommen werden, dass bereits eine gefunden worden ist. Und in die kann man die beiden Argumente einsetzen.

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Ist das hier ein Spiel mit Verbal-Andeutungen? Warum gibt eigentlich keiner eine Stammfunktion an, in die man 0 einsetzen kann?

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Vielleicht liegt es ja daran, dass es ein uneigentliches Integral ist. Keine Ahnung, ob TR das können.

mit einmal partieller Integration erhält man wie von Mathhilf vorgeschlagen:

\( F(x)=\frac{x^{4}}{4} \ln (x)-\frac{x^{4}}{16}+C \)

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Wenn ich jetzt in meinen TR 0^4* ln(0) eingebe, dann scheitert mein TR???

Also mal Ironie beiseite: Der Integrand hat am linken Rand ein Problem, darauf sollte man eingehen

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Und jetzt einfach \( F(0) \) ausrechnen geht nicht ohne Zusatzwissen über Grenzwerte.

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Maturanden können doch auch heutzutage noch etwas mit Grenzwerten anfangen. insbesondere hier, denn sonst hätte man den Fragesteller nicht mit einer solchen Aufgabe konfrontiert.

Meine Tochter jedenfalls konnte es, auch ohne mein Zutun, und das ist noch nicht lange her.

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Naja, Dein Wort in Gottes Ohr. An der Hochschule jedenfalls nicht alle.

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Was für ein Menschenauflauf.... wenn der fragestellenden Person etwas unklar ist, dann wird sie nachfragen.

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und deswegen braucht man keine präzise Antwort zu geben? Ein Hinweis darauf, das sich in diesem Falle der Sachverhalt komplizierter darstellt, wäre mehr als angemessen (IMHO nötig) gewesen.

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Danke für die Antworten, den Term muss ich nicht lösen, sondern nur angeben. Mir war unklar, wie ich den darstellen sollte.

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Was wäre denn jetzt Deine Antwort?

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Dann hast du hoffentlich auch den Grenzwert angegeben und nicht \(F(0)\) ...

Ich stimme user26605 übrigens zu und halte die Antwort für falsch.

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\( \left(\frac{1^{4}}{4} \ln (1)-\frac{1^{4}}{16}\right)-\left(\frac{0^{4}}{4} \ln (0)-\frac{0^{4}}{16}\right) \)

So wäre meine Antwort für Teil 2.

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Was ergibt den \( \ln(0) \)? Da muss noch eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden.

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$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^4}{4} \cdot \ln(x) = \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \to 0^+} x^4 \cdot \ln(x)$$

$$x^4 \cdot \ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-4}}$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^{-4}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(x)]}{\frac{d}{dx}[x^{-4}]}$$

$$\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$$

$$\frac{d}{dx}[x^{-4}] = -4x^{-5}$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-4x^{-5}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^4}{4} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^4}{4} \cdot \ln(x) = 0$$

Was ergibt den In (0)? Da muss noch eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden

Soll ich das noch hinzufügen zu meiner Antwort oder wie hast du das gemeint?

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Ja, das wäre gut.