Darstellungsmatrix Basistransformationsmatrix Reihenfolge

Question

Aufgabe:

Sei \( V=\mathbb{R}^{3} \) mit der Basis \( B=\left\{\boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \boldsymbol{b}_{3}\right\} \), wobei
\( \boldsymbol{b}_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{3}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

Die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei definiert durch
\( E_{3} \varphi\left(\boldsymbol{b}_{1}\right)=2 \boldsymbol{b}_{1}-\boldsymbol{b}_{2}+\boldsymbol{b}_{3}, \quad E_{3} \varphi\left(\boldsymbol{b}_{2}\right)=\boldsymbol{b}_{2}+\boldsymbol{b}_{3}, \quad E_{3} \varphi\left(\boldsymbol{b}_{3}\right)=2 \boldsymbol{b}_{1}+3 \boldsymbol{b}_{3} . \)
(a) Man bestimme die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) in der Basis \( B \).
(b) Man bestimme die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) in der Standardbasis von \( \mathbb{R}^{3} \) aus der Darstellungsmatrix in (a) mithilfe der Basistransformationsformel.

Problem/Ansatz:

Im Prinzip ist mir die Aufgabe klar. (a) ist auch kein Problem. Ich stolpere immer bei der Fragestellung in (b).

Die Formel kenne ich zwar:

Basistransformationsformel:
\( M_{\text {Standard }}=S \cdot M_{B} \cdot S^{-1} \)
- \( M_{B} \) ist die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) in Basis \( B \).
- \( S \) ist die Matrix, die von der Basis \( B \) zur Standardbasis transformiert.
- \( S^{-1} \) transformiert von Standardbasis zurück zu Basis \( B \).

aber ich komme immer durcheinander, ob ich für die Berechnung von S die Basis B durch die kanonische ausdrücken muß oder umgekehrt (sprich ich weiß nie was ist S und was S^-1

Gibt es hier eine gute Eselsbrücke um sich das ein für alle Male zu merken?

Answer 1

Aloha :)

Du weißt, wie die Basisvektoren von \(B\) in der kanonischen Standardbasis \(E\) aussehen:$$\small\vec b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\red{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}_E}\quad;\quad \vec b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B=\green{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}_E}\quad;\quad \vec b_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\blue{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_E}$$

Also lautet die Transformationsmatrix \(B\) von \(E\):$$S=\operatorname{id}_{E\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rrr}\red 1 & \green1 & \blue0\\\red0 & \green1 & \blue0\\\red1 & \green0 & \blue1\end{array}\right)$$

Comments

Das löst wohl nicht sein Problem.

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Ich versuch mal ein Beispiel, ich hoffe ich habe keine Fehler gemacht.

Tschakabumba kann ja vielleicht ergänzen/korrigieren.

Die Rechnungen habe ich weggelassen, das war ja nicht Dein Problem.

Gegeben seien die Basen B, C und eine Abbildung f. Wir wollen \( M_{C}^{C} \) mithilfe von \( M_{B}^{B} \) berechnen.

- Basis \( B \) :

\( b_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad b_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

- Basis \( C \) :

\( c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad c_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad c_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

- Lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) :

\( f\left(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ y+z \\ 3 z \end{array}\right) \)

Berechne zuerst  \( M_{B}^{B} \) :

\( M_{B}^{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) \)

Berechne nun \( M_{C}^{C} \) mithilfe von \( M_{B}^{B} \) :

\( M_{C}^{C}=T_{B \rightarrow C} \cdot M_{B}^{B} \cdot T_{C \rightarrow B} \)

Berechne nun die Basiswechselmatrix \( T_{C \rightarrow B} \) .

Die Spalten von \( T_{C \rightarrow B} \) sind dabei die Koordinaten der \( C \)-Basisvektoren bezüglich \( B \), d.h. die Basis C wird durch die Basis B ausgedrückt, damit dann die bekannte Matrix \( M_{B}^{B} \) angewandt werden kann. Die gesuchte Eselsbrücke wäre also: Stelle die ‚neue‘ Basis als Linearkombination der Basis dar, deren Abbildungsmatrix gegeben ist.

\( T_{C \rightarrow B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Die Basiswechselmatrix \( T_{B \rightarrow C} \) ist die Inverse der Basiswechselmatrix \( T_{C \rightarrow B} \) :

\( T_{B \rightarrow C}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right) \)

und nun mit Einsetzen in:

\( M_{C}^{C}=T_{B \rightarrow C} \cdot M_{B}^{B} \cdot T_{C \rightarrow B} \)

ergibt sich:

\( M_{C}^{C}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right) \)