Darstellungsmatrix Basistransformationsmatrix Reihenfolge

Question

Aufgabe:

Sei \( V=\mathbb{R}^{3} \) mit der Basis \( B=\left\{\boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \boldsymbol{b}_{3}\right\} \), wobei
\( \boldsymbol{b}_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{3}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

Die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei definiert durch
\( E_{3} \varphi\left(\boldsymbol{b}_{1}\right)=2 \boldsymbol{b}_{1}-\boldsymbol{b}_{2}+\boldsymbol{b}_{3}, \quad E_{3} \varphi\left(\boldsymbol{b}_{2}\right)=\boldsymbol{b}_{2}+\boldsymbol{b}_{3}, \quad E_{3} \varphi\left(\boldsymbol{b}_{3}\right)=2 \boldsymbol{b}_{1}+3 \boldsymbol{b}_{3} . \)
(a) Man bestimme die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) in der Basis \( B \).
(b) Man bestimme die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) in der Standardbasis von \( \mathbb{R}^{3} \) aus der Darstellungsmatrix in (a) mithilfe der Basistransformationsformel.

Problem/Ansatz:

Im Prinzip ist mir die Aufgabe klar. (a) ist auch kein Problem. Ich stolpere immer bei der Fragestellung in (b).

Die Formel kenne ich zwar:

Basistransformationsformel:
\( M_{\text {Standard }}=S \cdot M_{B} \cdot S^{-1} \)
- \( M_{B} \) ist die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) in Basis \( B \).
- \( S \) ist die Matrix, die von der Basis \( B \) zur Standardbasis transformiert.
- \( S^{-1} \) transformiert von Standardbasis zurück zu Basis \( B \).

aber ich komme immer durcheinander, ob ich für die Berechnung von S die Basis B durch die kanonische ausdrücken muß oder umgekehrt (sprich ich weiß nie was ist S und was S^-1

Gibt es hier eine gute Eselsbrücke um sich das ein für alle Male zu merken?

Answer 1

Setze \(S= T^B_{A}\) als die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(A\). Wir lesen von oben nach unten, also steht auch oben die alte Basis. Diese Matrix gibt die Vektoren der alten Basis als Linearkombination der Vektoren der neuen Basis an (als Spalten). Du drückst also die Basis \(B\) durch \(A\) aus, also alt durch neu.

Folglich ist dann \(S^{-1}=T^{A}_B\) die Basiswechselmatrix von \(A\) nach \(B\).

Nun gilt

\(M^{A}_{A}=T^\red{B}_{A}\cdot M^\green{B}_\red{B}\cdot T^{A}_\green{B}=S\cdot M_{B}\cdot S^{-1}\).

Merkregel: der obere Index der linken Matrix muss immer mit dem unteren Index der rechten Matrix zusammenpassen, wie beim Dominospiel.

Beachte, dass \(M_B\) nur eine Kurzschreibweise für \(M_B^B\) ist.

In deinem Fall gilt \(A=\mathrm{Standard}\) und damit ist \(S\) auch die von dir beschriebene Matrix von \(B\) zur Standardbasis.

Comments

Wir schreiben die Indizes rechts und links statt oben und unten, was natürlich keinen Unterschied macht. Die Formel ist klar, das analoge ‚Domino-Prinzip’ bei unserer Schreibweise auch. Ich kann mir nur nicht merken, ob bei

 \(S= T^B_{A}\) als die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(A\)

ich nun die b‘s durch die a‘s ausdrücken muß oder die a‘s durch die b‘s.

Ich weiß auch nicht, warum ich da immer stolpere :-)

Daher rechne ich es in der Regel immer ‚zu Fuß‘ aus, statt die drei Matrizen zu multiplizieren.

Anyway, vielen Dank.

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Gut, von oben nach unten kann man analog durch von links nach rechts ersetzen. Ist also weniger das Problem dann.

Von \(B\) nach \(A\) heißt, du drückst die \(b\)'s durch \(a\)'s aus. Du möchtest ja von der alten Basis \(B\) in die neue Basis \(A\), also brauchst du eine Darstellung durch die neuen Basisvektoren, also durch die \(a\)'s.

Answer 2

Aloha :)

Du weißt, wie die Basisvektoren von \(B\) in der kanonischen Standardbasis \(E\) aussehen:$$\small\vec b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\red{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}_E}\quad;\quad \vec b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B=\green{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}_E}\quad;\quad \vec b_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\blue{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_E}$$

Also lautet die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\):$$S=\operatorname{id}_{E\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rrr}\red 1 & \green1 & \blue0\\\red0 & \green1 & \blue0\\\red1 & \green0 & \blue1\end{array}\right)$$

Comments

Das löst wohl nicht sein Problem.

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Ich versuch mal ein Beispiel, ich hoffe ich habe keine Fehler gemacht.

Tschakabumba kann ja vielleicht ergänzen/korrigieren.

Die Rechnungen habe ich weggelassen, das war ja nicht Dein Problem.

Gegeben seien die Basen B, C und eine Abbildung f. Wir wollen \( M_{C}^{C} \) mithilfe von \( M_{B}^{B} \) berechnen.

- Basis \( B \) :

\( b_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad b_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

- Basis \( C \) :

\( c_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad c_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad c_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

- Lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) :

\( f\left(\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 2 x \\ y+z \\ 3 z \end{array}\right) \)

Berechne zuerst  \( M_{B}^{B} \) :

\( M_{B}^{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) \)

Berechne nun \( M_{C}^{C} \) mithilfe von \( M_{B}^{B} \) :

\( M_{C}^{C}=T_{B \rightarrow C} \cdot M_{B}^{B} \cdot T_{C \rightarrow B} \)

Berechne nun die Basiswechselmatrix \( T_{C \rightarrow B} \) .

Die Spalten von \( T_{C \rightarrow B} \) sind dabei die Koordinaten der \( C \)-Basisvektoren bezüglich \( B \), d.h. die Basis C wird durch die Basis B ausgedrückt, damit dann die bekannte Matrix \( M_{B}^{B} \) angewandt werden kann. Die gesuchte Eselsbrücke wäre also: Stelle die ‚neue‘ Basis als Linearkombination der Basis dar, deren Abbildungsmatrix gegeben ist.

\( T_{C \rightarrow B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Die Basiswechselmatrix \( T_{B \rightarrow C} \) ist die Inverse der Basiswechselmatrix \( T_{C \rightarrow B} \) :

\( T_{B \rightarrow C}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right) \)

und nun mit Einsetzen in:

\( M_{C}^{C}=T_{B \rightarrow C} \cdot M_{B}^{B} \cdot T_{C \rightarrow B} \)

ergibt sich:

\( M_{C}^{C}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right) \)

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@user26605:

Doch, das löst genau sein Problem. Er wollte wissen, wie man auf die Transformationsmatrix \(S\) kommt. Genau das habe ich beschrieben.

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Wollte er nicht. Vom Grundsatz her, weiß er das schon, kann sich das aber nicht merken oder vertauscht da immer irgendwas, weshalb er konkret nach einer Eselsbrücke fragte. Darauf bist du mit keinem Wort eingegangen.

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Leider nicht wirklich, vielleicht hatte ich mich ja unklar ausgedrückt.

Danke user26695, Deine Antwort geht in die Richtung an die ich dachte.

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Habe ich doch geschrieben. Er weiß, wie die Basisvektoren von \(B\) in der Standardbasis \(E\) aussehen. Also kennt er die Transformationsmatrix \(S\) von \(B\) nach \(E\). Ich habe das sogar farblich gekennzeichnet.

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Natürlich weiß er das alles, hilft ihm aber nicht bei seinem Problem, wie er selbst nochmal bestätigt hat.

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Alles gut, vielen Dank an alle.