Summations-Index als Variable

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine endliche Summe mit dem Startwert des Summations-Index = 1.

Ich möchte nun alle Partialsummen addieren bis ich einen bestimmten Maximalwert der Gesamtsumme erreicht habe.

Danach möchte ich wissen, wie groß der Endwert des Summations-Index bei diesem Maximalwert ist.

Also ist der Summations-Index sozusagen meine Variable.

Letztlich möchte ich herausfinden, wie oft ich einen bestimmten Term addieren muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erreichen.

Mit den bekannten Regeln der Summation konnte ich bisher leider keine Lösung finden.

Vielen Dank!

Comments

Wenn ich es richtig verstehe, ist nicht der Summationsindex die Variable sondern die obere Grenze?
Meinst Du so etwas als einfaches Beispiel?

Gegeben sei die Summe:
\( S=\sum \limits_{k=1}^{n} k=1+2+3+\cdots+n \)

Du willst herausfinden, wie groß das größte \( n \) sein darf, sodass die Summe der Partialsummen einen bestimmten Maximalwert nicht überschreitet.

Die \( i \)-te Partialsumme ist dann:
\( S_{i}=\sum \limits_{k=1}^{i} k \)
und die Summe, die Dich interessiert:

\( Summe=\sum \limits_{i=1}^{m} S_{i} \)
Mit einem zu bestImmenden m

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Danke für die Antworten.

Genau so wie Du das in dem einfachen Beispiel oben gezeigt hast, war das gemeint.

Ich suche den Wert von n , wenn ich mir eine feste Summe S vorgebe.

Also, z.B. wenn ich letztlich eine Summe S=100 erreichen will: wie viele Summanden n muss ich dann insgesamt addieren?

Der Hintergrund ist eine Fallunterscheidung, ob eine Gesamt-Summe weniger oder mehr als n Summanden benötigt.

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Na ja, die Gesamtsumme, die du suchst, ist:

\( T(n)=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{k=1}^{i} a_{k}\right) \)

Du willst dann das maximale \( n \) finden, sodass:
\( T(n) \leq M \)

Das wirst Du nur in wenigen, einfachen Fällen algebraisch lösen können. Für alles andere (den Normalfall sozusagen), müsste man die Partialsummen und deren Summe numerisch oder rekursiv berechnen, um \( n \) zu bestimmen.

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Also, z.B. wenn ich letztlich eine Summe S=100 erreichen will: wie viele Summanden n muss ich dann insgesamt addieren?

Das klingt für mich nach wie vor danach, dass es um Summanden geht und nicht um Partialsummen. Siehe Antwort von nudger.

Answer 1

Ich möchte nun alle Partialsummen addieren

Wenn ich Dich recht verstehe, willst Du das nicht, sondern Du willst alle Summanden addieren.

Also ist der Summations-Index sozusagen meine Variable.

Nein, anscheinend ist der Endwert des Summations-Index Deine Variable.

Antwort: Wenn es keine Formel für die Partialsumme bis zum Wert n gibt, geht das nicht. Wenn es eine gibt, geht es vielleicht.

Wenn es um eine konkrete Summe geht, liefere die mit Deiner Frage mit.

Wenn es um eine konkrete Aufgabe geht, liefere die im Original mit.

Answer 2

Ich mache das mal für die Partialsumme einer arithmetischen Reihe

Also die Partialsumme soll für ein bestimmtes n größer oder gleich einer Summe s sein.

sn = ∑ (i = 1 bis n) (a + (i - 1)·d) = n·(2·a + d·(n - 1))/2 ≥ s --> n ≥ (d - 2·a + √(4·a^2 - 4·a·d + d^2 + 8·d·s))/(2·d)

Hierbei nehme ich a < s und d > 0 an.

Hat man also eine arithmetische Reihe mit a = 1 und d = 1 (1, 2, 3, ..., n), dann braucht man für eine Summe von mindestens s = 100

n ≥ (1 - 2·1 + √(4·1^2 - 4·1·1 + 1^2 + 8·1·100))/(2·1) = 13.7

also 14 Summanden

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105

Du siehst, dass 13 Summenden gerade zu wenig sind aber 14 ausreichend.

Die Frage ist, wie genau deine zugrunde liegende Reihe aussieht.

Comments

Genau so wie Du das in dem einfachen Beispiel oben gezeigt hast, war das gemeint.

Wenn das wirklich so gemeint ist, ist deine Antwort falsch.