Berechnung der Determinanten nach Umstellungen in der Matrix

Question

Aufgabe:Berechne Determinante von B

Text erkannt:

b) Gegeben sind die Matrizen
\( A=\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array}\right) \text { mit } \operatorname{det}(A)=6 \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{ccc} a+x & b+y & c+z \\ 3 x & 3 y & 3 z \\ -p & -q & -r \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Moin, als ersten fällt mir die Multiplikation mit 3 in Zeile 2 auf. Daher schonmal 6*3. Die Addition von Zeile 1 und 3 (von A) sollte die Det ja nicht ändern. Dann ist da die gesammte negative 3. Zeile -p -q -r. Würde das Det*-1 bedeuten?
Als letztes der Zeilentausch von Zeile 2 und 3. Das bedeuted ja auch Det*-1

zusammen ergäbe das 6*3*-1*-1=18 oder überseh ich was?

Gibt es eine generelle Regel wenn sich das Vorzeichen in der Matrix ändert und wie sich das auf die Det auswirkt?

Comments

Man kann es in der Tat im Kopf rechnen, z.B. so: 3 aus der 2. Zeile vor die Determinante bringen, dann 1. Zeile minus (neue) 2. Zeile und nun noch 2. und 3. Zeile tauschen ergibt ein Minuszeichen das sich mit dem der (alten) 3. Zeile kompensiert, nun hat man A erzeugt, ergo det(B)=3*6=18

Answer 1

Von der Idee her alles sinnvoll. Die Aufgabe sollte man aber nicht im Kopf lösen, schreib also die nötigen Umformungen beginnend mit A Schritt für Schritt auf.

Multipliziert man eine Zeile oder eine Spalte mit einem Faktor, so multipliziert sich die Determinante auch mit diesen Faktor.

Comments

Ich vergess immer dass ein Minus ja eine Multiplikation mit -1 bedeuted. Daher passt eine Vorzeichenänderung der Det nur wenn alle Werte eine Zeile/Spalte das Vorzeichen ändern, richtig?

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Lies die genannte Regel mit dem Faktor \(-1\).

Answer 2

Das Ergebnis +18 lässt sich leicht nachprüfen. Da zu den Elementen der Matrix A keine Vorgaben gemacht werden, lässt sich A ohne Beschränkung der Allgemeinheit so darstellen:

A = \( \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) 

Die Matrix B lautet dann:

B = \( \begin{pmatrix} 6 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)

Durch Vertauschen von zwei Zeilen eine Dreiecksmatrix erzeugen:

B' = \( \begin{pmatrix} 6 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \) 

Die Determinante von B lautet dann aufgrund der Vertauschung:

det(B) = +18

Comments

Kannst Du "ohne Beschränkung der Allgemeinheit" erläutern?