Wie löst man Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Hochzahlen auf?

Question

Aufgabe:

a) \( \displaystyle 120^{1/2} \cdot 900^{1/4} =60 \)

b) \( \displaystyle 4^{1/3} \cdot 2^{1/3} \cdot 16^{1/4} =4 \)

Problem/Ansatz:

a) Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Ich kann weder das erste oder zweite Potenzgesetz anwenden.

1. \( a^{m} \) *\( a^{n} \) =\( a^{m+n} \)

2. \( a^{m} \) *\( b^{m} \) =(a*b)\( ^{m} \)

b) Habe ich für 4\( ^{\frac{1}{3}} \)*2\( ^{\frac{1}{3}} \)das zweite Potenzgesetz angewandt und habe 8\( ^{\frac{1}{3}} \) *16\( ^{\frac{1}{4}} \) bekommen. Dann habe ich in die Wurzelschreibweise umgeformt, \( \sqrt[3]{8} \)*\( \sqrt[4]{16} \) . Hier wäre dann meine Frage, wie man am besten weiter vorgeht, denn ich habe nämlich durch Knobeln meine Antwort bekommen:

\( \sqrt[3]{8} \)=x

\( x^{3} \) =8

8=2*4

8=2*2*2

8=2\( ^{3} \)

x=2

Gäbe es hier eine schnellere Vorgehensweise?

Answer 1

Nummerierte Potenzgesetze anwenden zu wollen tönt ja irgendwie löblich. Es gibt Leute, ich gehöre dazu, die vergessen die Nummern immer. Dann kann man stattdessen einfach ausrechnen. Bei dieser Aufgabe geht das sogar ohne Taschenrechner.

a)

\( \displaystyle 120^{1/2} \cdot 900^{1/4} \)

\( \displaystyle = 120^{1/2} \cdot 30^{1/2} \)

\( \displaystyle = 3600^{1/2} \)

\( \displaystyle = 60 \)

b)

\( \displaystyle 4^{1/3} \cdot 2^{1/3} \cdot 16^{1/4} \)

\( \displaystyle = 8^{1/3} \cdot 4^{1/2} \)

\( \displaystyle = 2 \cdot 2 \)

\( \displaystyle = 4 \)

Comments

Bei dieser Aufgabe geht das sogar ohne Taschenrechner.

Sollte man 8^1/3  im Kopf rechnen können?

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Nicht direkt, aber es ist hilfreich zu wissen das 2³ = 8 ist und das gebrochene Exponenten Wurzeln bedeuten.

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Sollte man 8^{1/3}  im Kopf rechnen können?

Ja. Das ist die dritte Wurzel aus 8. Und da du weißt das 2^3 = 8 gilt. Ist die dritte Wurzel aus 8 einfach 2.

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Das ist die dritte Wurzel aus 8

Um ehrlich zu sein, wusste ich das nicht, und was

gebrochene Exponenten

sind noch weniger, liegt wohl an mir danke euch.

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Exponenten sind das, was Du im Titel als "Hochzahlen" bezeichnet hast, und gebrochene Exponenten sind solche in Bruchform. Etwas hoch (1/n) ist die n-te Wurzel von dem Etwas.

Nimm eine Pizza und halbiere in drei Schritten jedes jeweils vorhandene Stück. Du wirst 8 Stücke erhalten: Nach dem ersten Schnitt zwei Hälften, nach dem zweiten Schritt vier Viertel, nach dem dritten Schritt acht Achtel.

\( \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \quad \Longleftrightarrow \quad 2^3 = 8  \quad \Longleftrightarrow \quad 2 = 8^{1/3}\)

Wenn keine Pizza zur Hand, dann geht es auch mit einem runden Bierdeckel und einer Schere.

Und der Taschenrechner ist immer noch im Stall geblieben.

Answer 2

zu a) Man kann die Beziehung $$900=\left(30^2\right)$$verwenden.

Comments

zu b): Das kann man so machen und dann mit $$8=2^3$$ und $$16=2^4$$ weiter machen. Die Potenzen \(a^b\) mit kleinen natürlichen Zahlen für \(a\) und \(b\) dürfen als bekannt vorausgesetzt werden.

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Dann würde Mann a) 120\( ^{\frac{1}{2}} \)*(30\( ^{\frac{1}{2}} \))\( ^{\frac{1}{4}} \) haben und kann mit dem dritten Potenzgesetz (\( a^{m} \))\(^{n} \) =\( a^{m*n} \) dann 120\( ^{\frac{1}{2}} \)*30\( ^{\frac{1}{2}} \)*\( ^{\frac{1}{4}} \)ausschreiben und bekommt 120\( ^{\frac{1}{2}} \)*30\( ^{\frac{1}{8}} \) raus?

Oder hast bei dir die hoch einhalb bei der 900 bei dir vergessen, weil @döschwo hat beim zweiten Rechenschritt bei sich stehen 30\( ^{\frac{1}{2}} \).

Wie hast du die Beziehung von 900 zur 30\(^{\frac{1}{2}} \)erkannt? Ich würde gerne mehr über diesen schritt wissen.

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\( \displaystyle 900^{1/4}=\sqrt[4]{900}=\sqrt{\sqrt{900}} = \sqrt{30} = 30^{1/2}\)

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\( \sqrt[4]{900} \)  ist \( \sqrt{\sqrt{900}} \) weil anders geschrieben (900\(^{\frac{1}{2}} \))\(^{\frac{1}{2}} \)ist, was wiederum 900\(^{\frac{1}{4}} \) ist? Der Schritt \( \sqrt{\sqrt{900}} \) zur \( \sqrt{30} \) ist mir nicht ganz klar.

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Ich weiß, dass \(900\) die Quadratzahl von \(30\) ist.

Damit ist dann \({900=\left(30^2\right)}\), also eine Potenz zum weiterarbeiten, entstanden.

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Okay, verstehe, du wusste es einfach.

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So wahnsinnig viel wird der Kollege nicht auswendig gelernt haben, um es "einfach zu wissen".

\( \displaystyle 900= \underbrace{9}_{3 \cdot 3} \cdot \underbrace{100}_{10 \cdot 10} = 30^2 \)