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Aufgabe: Bedingungen finden für
a) genau eine
b) unendlich viele
c) keine Lösung
d) Werte(Lösungen) für a) und b) finden

1: a^2-3 x1 -x2 +x3 = 1
2: x1                 +x3 = a
3:              x2 +5x3 = 0


Problem/Ansatz:

Ich hab erstmal die Determinante der Koeffizientenmatrix bestimm. Also von blob.png. Das ergibt -a^2+9

Jetzt fängt das Problem an. Einen Teil der Bedingung habe ich jetzt aber ich muss ja noch das a in der erweiterten Koeff-Matrix bestimmen. Noch steht es in Zeile 2 aber ich glaube nicht, dass ich es da nutzen kann.

Ich könnte natürlich komplett neu anfangen und mit Gauß eine Dreiecksmatrix bilden. Damit würde a in die 3. Zeile wandern aber auch deutlich länger werden.

Lässt sich das irgendwie vermeiden? Ich habe den Wert der Determinanten und den Vektor der Absolutglieder übrig behalten.

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{r|r|r}\mid a^{\wedge} 2-3 & -1 & 1 \\ \hline \hline 1 & 0 & 1 \\ \hline \hline 0 & 1 & 5 \\ \hline\end{array}\right) \)

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wenn das wirklich das Gleichungssystem ist, das Du meinst (Klammern!) dann ist es egal wie Du es drehst und wendest, die Lösungen sind immer anhängig vom Parameter a.

\( \begin{array}{ll}1: & \left(a^{2}-3\right) x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\ 2: & x_{1}+x_{3}=a \\ 3: & x_{2}+5 x_{3}=0\end{array} \)

dann erhalte ich (zur Kontrolle)

- a) genau eine Lösung \( \Leftrightarrow a \neq \pm 3 \)
- b) unendlich viele Lösungen \( \Leftrightarrow \) nicht erfüllbar
- c) keine Lösung \( \Leftrightarrow a= \pm 3 \)
- d) Beispiel-Lösung für a): \( a=0 \):

\( x_{1}=-\frac{1}{9}, \quad x_{2}=-\frac{5}{9}, \quad x_{3}=\frac{1}{9} \)


1 Antwort

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Wenn wir mal das Gauß-Verfahren bis zur Zeilenstufenform anwenden, erhalten wir.

(a^2 - 3)·x - y + z = 1
x + z = a
y + 5·z = 0

II ; III + I

x + z = a
x·(a^2 - 3) + 6·z = 1

II' - 6I'

x·(a^2 - 9) = 1 - 6·a --> x = (1 - 6·a)/(a^2 - 9)

Das hier bis auf das Vorzeichen die Determinante im Nenner steht, ist übrigens nicht nur ein komischer Zufall. Man kann natürlich das Gleichungssystem auch direkt mit dem Determinantenverfahren lösen. Allerdings geht das mit dem Additionsverfahren mittels Gauß doch sehr schnell.

Mit der letzten Zeile solltest du jetzt Fallunterscheidungen machen können. Also für welche Werte von a es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt. Dann solltest du danach auch Lösungen nennen können.

Willst du das einmal probieren? Wenn du nicht weiter kommst, sag auch gerne Bescheid, wo dann genau die Probleme liegen.

Avatar vor von 493 k 🚀

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