Unter Nutzung einer Determinante alle a ∈ ℝ, für die das LGS eindeutig lösbar ist, berechnen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie das LGS:

x + 2y - z = 1

2x + (a+6)y - z = a+3

-x + ay + (a+1)z = a+3

Berechnen Sie unter Nutzung einer Determinante und (a) alle a ∈ ℝ, für die das LGS eindeutig lösbar ist.

Über Lösungsvorschläge mit einem Rechenweg oder auch Lösungsansätze würde ich mich freuen.

Ich würde es gern verstehen.

Answer 1

Vereinfache nach Gauss:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2&-1 \\ 2 & a+6&-1 \\ -1 & a&a+1 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 2&-1 \\ 0 & a+2&1 \\ 0 & a+2&a \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 2&-1 \\ 0 & a+2&1 \\ 0 & 0&a-1 \end{pmatrix} \)

det(A)=1*(a+2)*(a-1) muss ≠ 0 sein, damit es genau eine Lösung gibt, also a ≠-2 unda ≠1

Kannst auch so sagen: Wenn die Diagonalenelemente ≠ 0 sind, geht die Rücksubstitution des LGS problemlos.

Answer 2

Du musst die Koeffizienten-Determinante D berechnen. Du erhältst einen quadratischen Term für a. Für D=0 gibt es keine oder unendlich viele Lösungen. Für alle anderen Werte von a gibt es eine eindeutige Lösung.