Für welche Werte a besitzt folgendes Ungleichungssystem Lösungen und wie lauten diese?

Question

Aufgabe:

Finde alle reellen Zahlen \( x \), die das folgende System erfüllen:
\( \left\{\begin{array}{l} x^{2}-4 x+3<0 \\ x^{2}-(a+1) x+a \leq 0 \end{array}\right. \)
wobei \( a \) ein reeller Parameter ist. Bestimme für welche Werte von \( a \) das System Lösungen besitzt, und gib diese Lösungen in Abhängigkeit von \( a \) an.

Problem/Ansatz:

Die erste Ungleichung habe ich geschrieben als (x - 1)(x-3) < 0 und das geht nur für 1 < x < 3 denke ich. Aber mit der zweiten weiß ich nicht was ich mit dem a anfangen soll

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Du kannst die zweite Ungleichung analog zur ersten umschreiben als:

(x - 1)(x - a) ≤ 0

z.B. über die Berechnung der Nullstellen der quadratischen Gleichung mit den bekannten Formeln (allerdings mußt Du dann einen Betrag auflösen) oder durch Umformung der Ungleichung mittels quadratischer Ergänzung (hier etwas einfacher).

Da Du schon weißt, dass 1 < x < 3 gelten muß, kannst Du nun Fallunterscheidungen für a machen und die gültigen a Werte bestimmen. Anschließend dann für diese Werte die Lösungsmenge. Diese Fallunterscheidungen sind wohl das komplizierteste an dieser Aufgabe.

Zur Kontrolle: keine Lösung für a ≤ 1, für 1 < a < 3 ist das Lösungsintervall (1,a], für a ≥ 3 ist das Lösungsintervall (1,3).

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Hier ein Link zu meinem Freund Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+x%5E2-4x%2B3%3C0%2Cx%5E2-%28a%2B1%29x%2Ba%3C%3D0+for+x

Answer 1

Bei beiden Ungleichungen steht links der Term einer Parabel. Und zwar einer nach oben geöffneten, da der Koeffizient des quadratischen Summanden positiv ist. Das bedeutet, das Lösungsintervall ist zwischen den beiden Nullstellen der Parabel. Wären die Parabeln nach unten geöffnet, dann wäre die Lösung links von der linken und rechts von der rechten Nullstelle.

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen verrät, dass die Nullstellen der ersten Parabel bei 1 und 3 sind, und die Nullstellen der zweiten Parabel bei 1 und a. Die Lösung des Systems ist dort, wo beide Lösungsintervalle sich überschneiden. Also von 1 bis a aber höchstens bis 3.

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Das ist mir nicht klar. Was wäre, wenn eine nach oben und die andere nach unten geöffnet wäre?

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Auch dann müssen sich die beiden Lösungsintervalle überschneiden.

Lösung hier grün eingezeichnet:

(An allen Stellen, die außerhalb der Nullstellen der schwarzen Parabel liegen und gleichzeitig zwischen den Nullstellen der roten Parabel, haben beide Parabeln negative y-Koordinaten. Die Beziehung ist eineindeutig).

Answer 2

Betrachte mal \(a=3\). Und bestimme doch mal die Nullstellen der zweiten Parabel in Abhängigkeit von \(a\). Welchen Einfluss hat das \(a\) auf die Form der Parabel und was bedeutet das dann für die zweite Ungleichung?

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Das hilft mir nicht weiter

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Dann löse doch die zweite (Un-)Gleichung einfach mit der pq-Formel!

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Die Formel ist doch für quadratische Gleichungen?

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x²-(a+1)x+a=0

ist eine quadratische Gleichung!

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Warum schreist Du? In der Aufgabe steht eine Ungleichung

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Die Lösungsmenge der Ungleichung wird von den Lösungen der Gleichung begrenzt, siehe auch meinen Kommentar zur Antwort von Roland.

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Für die erste Ungleichung konntest du eine Faktorisierung finden und für die zweite nicht, obwohl es genau dasselbe ist? Seltsam.

Aber mittlerweile liegen ja genug Lösungen vor. Bediene dich daran.

Answer 3

Die Lösungsmenge der ersten Ungleichung hat du richtig angegeben. Löse nun die zweite Ungleichung für verschiedene a und ziehe daraus Schlüsse bezüglich einer Antwort auf die Frage.

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Die Lösungsmenge der ersten Gleichung hat du richtig angegeben

Das erste war eine Ungleichung.

Die quadratische Gleichung x²-4x+3=0 hätte die Lösungsmenge {1;3}

Für die angegebene Ungleichung befinden sich die Lösungen zwischen 1 und 3.

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abakus, danke für den Hinweis auf einen Fehler, den ich verbessert habe.

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Löse nun die zweite Gleichung

Ist immer noch falsch ...

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Ich danke auch dir, Apfelmännchen, für den Hinweis auf einen Fehler, den ich verbessert habe.