Auf welchen Intervallen lassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die beiden rationalen Funktionen \( f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: D_{g} \rightarrow \mathbb{R} \), die durch

\( \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-2 x}{x^{2}-1}  \quad ; \quad g(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x+2} \)

definiert sind.

Geben Sie die maximalen Definitionsbereiche \( D_{f} \subseteq \mathbb{R} \) und \( D_{g} \subseteq \mathbb{R} \) an und bestimmen Sie die Bildmengen \( f\left(D_{f}\right) \) und \( g\left(D_{g}\right) \).

Auf welchen Intervallen lassen sich Umkehrfunktionen zu diesen Funktionen angeben?

Problem/Ansatz:

Die Definitionsbereiche habe ich, aber wie bestimme ich die Bildmengen und die Umkehrfunktionen?

Comments

Die Definitionsbereiche habe ich ...

Nämlich welche?

Zu Deinen Fragen: Hast Du die Funktionen mal geplottet? Wird fürs Verständnis sicher helfen.

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Alles außer +/- 1 bzw. -2, bei f könnte man die Definitionslücke bei x=1 ergänzen.

Ich versuche es rein rechnerisch zu lösen.

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Du kannst f(x) vereinfachen:

x^3+x^2-2x = x(x^2+x-2) = x(x+2)(x-1)

x^2-1 = (x+1)(x-1)

(x-1) lässt sich rauskürzen.

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Ich hatte bereits geschrieben, dass bei f(x) für x=1 eine Definitionslücke vorliegt.

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Die Umkehrfunktionen sind auch jeweils anzugeben.

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Vertausche jeweils x und y und löse nach y auf.

Oder löse nach x auf und vertausche am Ende x und y.

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Hier mal zur Kontrolle die Ergebnisse für f(x):

Den Definitionsbereich hattest Du ja schon richtig.

Der Wertebereich von f ist ganz ℝ.

Die Umkehrfunktion auf dem Intervall für (-∞,-1) lautet: f^-1(x) = \( \frac{1}{2} \)(x - 2 - \( \sqrt{x^{2}+4} \))

Probier es selber für den Rest, da gibt es aber noch eine Besonderheit zu beachten.

Ich hoffe, das hilft schon mal weiter.

Die Funktion g(x) ist etwas aufwendiger :-)

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Vertausche jeweils x und y und löse nach y auf.

Oder löse nach x auf und vertausche am Ende x und y.

Kommentiert vor 1 Stunde von Henry0611

Ja klar, aber wie löst man dann hier auf?

@user 26065: danke, mal sehen ob ich da hinkomme.

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Oder vertausche gar nix und halte es für normal, dass die Umkehr von "x wird zugeordnet ein y" halt eben "y wird zugeordnet ein x" ist. Die unabhängige Variable ist dann in der Ordinate. Es gibt Leute, denen fällt es so deutlich leichter, weil die Variablen dann immer denselben Namen haben.

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Ja klar, aber wie löst man dann hier auf?

Man multipliziert mit dem Nenner und merkt (spätestens dann), dass es sich um eine quadratische Gleichung handelt.

Die Lösungsformel derselben ist dir vertraut?

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Das hatte ich dem Bruch nicht angesehen, aber jetzt habe ich als Umkehrfunktion für (-1,∞) herausbekommen :

f^-1(x) = \( \frac{1}{2} \)(x - 2 + \( \sqrt{x^{2}+4} \))

Korrekt?

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Fast korrekt. Du musst nur die Definitionslücke bei x=1 herausnehmen.

Answer 1

Um die Bildmengen zu bestimmen, kann es helfen, sich das asymptotische Verhalten und das Verhalten an möglichen Polstellen anzuschauen. Auch können Extrema Aufschluss darüber geben. Grundsätzlich sollte man sich die Funktionen einmal plotten, da man dann auch sehen kann, was man möglicherweise untersuchen kann bzw. wie man argumentieren kann.

Eine Umkehrfunktion soll gar nicht angegeben werden. Du sollst nur die Intervalle angeben, auf denen sich eine Umkehrfunktion bestimmen lässt. Überlege dir dazu, wann es möglich ist, eine Umkehrfunktion zu bilden. Auch das kann man anhand eines Plots sehr gut erkennen.

Erst nach dieser Vorarbeit kann man sich dann über eine formale Rechnung Gedanken machen.

Frage also an dich: welche Erkenntnisse auf deine Fragen kannst du aufgrund des Plots gewinnen?