0 Daumen
377 Aufrufe

P55 bitte.

Ich komme so überhaupt nicht klar.

Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Bild Mathematik

von 2,1 k

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Die zweite Ableitung ist die folgende:

$$\left(\frac{d}{dy}\right)^2f^{-1}(y) \\ =\frac{d}{dy}\left(\frac{d}{dy}f^{-1}(y)\right) \\ =\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}\right) \\ =-\frac{1}{\left [f'\left(f^{-1}(y)\right)\right ]^2}\cdot \left(f'\left(f^{-1}(y)\right)\right)' \\ =-\frac{1}{\left [f'\left(f^{-1}(y)\right)\right ]^2}\cdot f''\left(f^{-1}(y)\right)\cdot \left(f^{-1}(y)\right)' \\ =-\frac{1}{\left [f'\left(f^{-1}(y)\right)\right ]^2}\cdot f''\left(f^{-1}(y)\right)\cdot \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)} \\ =-\frac{f''\left(f^{-1}(y)\right)}{\left [f'\left(f^{-1}(y)\right)\right ]^3}$$

von 6,9 k

VIELEN Dank :)


Können sie mir bitte noch

Das mit vorzeichen und geometrische bedeutung erklären ?

Gerne :-) 

Wir haben dass f'(x)>0.

Die zweite Ableitung von f-1(x) ist $$-\frac{f''(f^{-1}(y))}{[f'(f^{-1}(y))]^3}$$ Der Nenner ist positiv. Da vor den Bruch noch ein Minus Zeichen ist, ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung von f-1(x) das Gegenteil als das von f''(x).


Das Vorzeichen der zweiten Ableitung einer Funktion zeigt uns ob die Funktion konkav oder konvex ist.

Da die zweite Ableitungen einer Funktion f und dessen Inverse nicht das gleiche Vorzeichen haben, bedeutet es dass wenn wir f konkav ist dann ist die f-1 konvex und umgekehrt. 

Wir sehen es zum Beispiel im folgenden Garphen:


Bild Mathematik

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community