Berechnung zweier Winkel im Dreieck

Question

Aufgabe:

Berechnung der Winkel α₃ und α₄

Problem/Ansatz:

Hallo, wer könnte helfen? Die anderen Winkel zu ermitteln ist kein Problem, aber die beiden Winkel α₃ und α₄ machen Probleme. Ich habe es mit verschiedenen Gleichungssystemen probiert, führen nicht zum Erfolg. Ich habe das geometrische Gebilde auch verschiedentlich konstruiert, die beiden Winkel sind sind immer gleich gewesen. Sie müssen ja demnach eindeutig sein. Hier der Vollständigkeit halber die einzelnen Winkel:

α₁= 82°

α₂= 63°

α₅=82°

α₆=28°

α₇=98°

α₈=37°

Viele Dank im voraus!

Siegfried

Text erkannt:

Berechne die fehlenden Winkel!

Comments

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Deine berechneten Winkel sind korrekt.

Kein Gleichungssystem, das lediglich aus Winkelsummen der abgebildeten Figuren besteht, wird zu einer eindeutigen Lösung führen. Solche Gleichungen können nämlich immer in die Form

      \(\alpha_3+\alpha_4 = T_i\)

gebracht werden, wobei \(T_i\) ein Term ist, in dem weder \(\alpha_3\), noch \(\alpha_4\) auftritt. Dann ist aber \(T_i\) in jeder Gleichung gleich (nämlich 82°) und das Gleichungssystem somit unterbestimmt.

Trigonometrie würde helfen.

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Wenn du es gezeichnet hast, könntest du mal bitte prüfen, ob für α4 ein Winkel von ca. 51.077° stimmen könnte.

Wolframalpha hat das jetzt nur numerisch gelöst, gibt aber auch eine ziemlich lange exakte Form dafür an.

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ob für α4 ein Winkel von ca. 51.077° stimmen könnte.

Stimmt bis auf die fehlenden Nachkkommastellen.

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Wenn das stimmt, dann ist nach dem Sinussatz einfach die Gleichung

SIN(x°)/SIN(82° - x°) = SIN(70°)·SIN(45°)·SIN(35°)/(SIN(28°)·SIN(37°)·SIN(63°))

zu lösen. Also so hab ich das zumindest gemacht.

Answer 1

Versuch mal das rote Dreieck zu benutzen:

Comments

Ich hatte iwie nur das Bild gesehen. Ohne Text. Ich überlasse Dir das Feld ;).

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So, ich habe es auch mal selbst versucht. In der Figur gibt es acht Dreiecke, eine Geradenkreuzung und ein Viereck. Doch leider lassen sich daraus keine acht unabhängige, lineare Gleichungen ableiten, die auch noch zu \(\alpha_3\) oder \(\alpha_4\) führen. Das lineare Gleichungssystem ist unterbestimmt. Das habe ich nicht erwartet!

Die Eindeutigkeit der verschiedenen Konstruktionen weist aber auf die Eindeutigkeit der Lösung hin. Folglich stellen sich einige Fragen:

(1) Haben wir etwas übersehen?

(2) Fehlt irgendeine Information?

(3) Warum führt der tronometrische Weg von Oswald zum Ziel?

Answer 2

Von der linken Ecke aus seien die Ecken des Vierecks \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\). Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen sei \(M\).

Zeichne die Höhe des Dreiecks \(ACD\) von \(D\) aus ein. Höhenfußpunkt sei \(F\).

    \(\begin{aligned}\frac{DF}{AF}&=\tan(\alpha_6)\\\frac{DF}{FM}&=\tan(\alpha_5)\\AM&=AF+FM\end{aligned}\)

Zeichne die Höhe des Dreiecks \(ABC\) von \(B\) aus ein. Höhenfußpunkt sei \(G\).

    \(\begin{aligned}\frac{BG}{CG}&=\tan(\alpha_2)\\\frac{BG}{GM}&=\tan(\alpha_1)\\CM&=CG+GM\end{aligned}\)

Jetzt noch das obere und das untere Dreieck miteinander verbinden.

    \(\begin{aligned}AG&=AM+GM\\\frac{AG}{BG}&=\tan(45°)\end{aligned}\)

Normieren und gesuchte Variable einfügen.

    \(\begin{aligned}AM&=1\\CF&=CM+FM\\t&=DF/CF\end{aligned}\)

Jetzt ist \(\alpha_3 = \arctan(t)\).