Parkettierung gelochter Quadrate

Question

Einem Quadrat aus Einheitsquadraten fehlt an einer beliebigen Stelle ein Einheitsquadrat (im Beispiel rot).

Welche Bedingung muss die Seitenlänge der Quadrate erfüllen, damit man die Restfläche mit Trimonos (3 Einheitsquadrate L-förmig angeordnet) parkettieren kann?

Begründe deine Antwort.

Comments

hier schaue ich nur gelegentlich 'rein, bin weder Lehrer noch Professor. Die Fragen von Roland sind schon speziell. Diesmal fällt mir spontan nur das ein:

Leider ohne Begründung und somit nicht als Antwort.

Gut möglich, das ich das komplett falsch verstanden habe.

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Karl, für ein 2×2-Quadrat ist alles klar. Versuche das mal für andere Quadrate.

Answer 1

Die Seitenlänge des großen Quadrats muss \(2^n\) betragen. Dann kann man induktiv zeigen, dass man stets solche Muster

bilden kann, wobei gerade die drei übrigen Quadrate ein Tromino (so heißen diese Teile übrigens richtig) bilden (siehe chair tiling: https://en.wikipedia.org/wiki/Chair_tiling).

Zur weiteren Illustration und zum eigenen Ausprobieren verweise ich einmal auf das 8x8-Tromino Puzzle: https://nstarr.people.amherst.edu/trom/puzzle-8by8/

Comments

Die Antwort erfasst nicht alle Seitenlängen, die möglich sind.

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Stimmt. Eine Begründung ist allerdings nicht trivial.

Es gilt auch für alle Seitenlängen größer als 5, die kein Vielfaches von 3 sind.

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Games/TrominoPuzzleN.shtml

Ist die Seitenlänge ein Vielfaches von 3, so ist die Anzahl der Einheitsquadrate abzüglich des fehlendes Quadrats nicht durch drei tielbar. Daher können diese Werte grundsätzlich schon ausgeschlossen werden.

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Es gilt auch für alle Seitenlängen größer oder gleich 5, die kein Vielfaches von 3 sind.

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Es gilt auch für alle Seitenlängen größer oder gleich 5, die kein Vielfaches von 3 sind.

Mach das doch mal bitte für Quadrate der Seitenlänge 5 vor.

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Für die Seitenlänge 5 geht es nur, wenn das fehlende Einheitsquadrat eine Ecke ist. Daher ist das nicht Teil der Lösung, weil du die Entfernung an beliebiger Stelle gefordert hast.

Ich vermute, dass deine Lösung nur auf der Anzahl der Quadrate beruht und nicht darauf, ob eine derartige Zerlegung überhaupt möglich ist. Wenn man solche Aufgaben einstellt, sollte man sich auch ausführlich damit befassen. Die angegebene Quelle zeigt nämlich, dass eine Begründung nicht trivial ist und etwas mehr Überlegung erfordert.

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Nun lass ihn doch. Wenn er meint, dass er das besser weiß als die angegebene Quelle, dann kann er es ja hier nachweisen. Ich schließe mich daher der Aufforderung von MatHaeMatician an. Wir warten gespannt.

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Apfelmännchen hat recht.