Epsilon-Delta-Kriterium Grenzwert bei Funktion gegen x0

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zum Aufgabengebiet "Grenzwert einer Funktion gegen x₀ ". Zum lernen verwende ich das Buch:

Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 1, 1993, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 120.

In dem Beispiel geht es darum zu ermitteln, ob die Funktion \( \frac{1}{x} \) an der Stellte x₀ = 0 einen Grenzwert hat.

Problem/Ansatz:

Aus den vorherigen Beispiel wurde dies wie folgt verdeutlicht. Ich nähere mich x₀ von rechts und links so nah wie möglich an. Dadurch erhalte ich vereinfach eine Mittelwert g auf der y-Achse. Um diesen lege ich einen Intervall von ε = 0,2. Also g - ε und g + ε. Die Werte g + ε und g - ε setze ich in die Funktion ein und bekomme hierdurch die Ergebnisse für das δ auf der x-Achse. Hier nehme ich das kleineste δ zu x₀, dass ich nun als offenen Intervall x₀ - δ und x₀ + δ.

Mein Frage hierzu ist wie folgt: Bei allen grafischen Beispielen in diesem Buch, wird das δ bereits dargestellt, bevor ich das passende δ ermittelt habe. Woher kommt dieses δ? Kann ich es frei wählen?

Ich würde mich sehr freuen, wenn hierzu jemand eine Antwort für mich hätte. Die Berechnung bereitet mir keine Probleme, aber ich verstehe einfach nicht, woher diese Delta kommt.

Bei Bedarf kann ich gerne eine Grafik zeichnen und zur Verfügung stellen, falls meine Erklärung nicht ausreichen sollte.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Viele Grüße

Thorsten

Comments

Schau Dir noch mal die Definition des Grenzwertes an.

Man muß nur zeigen, dass zu jedem beliebigen ε>0 solch ein δ existiert, damit der Grenzwert existiert. Auf den absoluten Wert von δ kommt es also nicht wirklich an, nur auf seine Existenz.

Im Prinzip sagt die Definition, wenn ich mich x₀ nur nahe genug nähere, nähert sich f(x) dem Grenzwert bei x₀ so nahe wie ich nur möchte.

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Vielen lieben Dank für deine Antwort. Die Definition hatte ich verstanden. Mir machen nur die Aufgaben in dem Buch und die immer wieder Kopfzerbrechen. Im Buch wurde lediglich durch Rückwärts-Rechnung von g+ε und g-ε nach x+δ und x-δ hingewiesen. Wenn das aber, wie du beschreibst, nur beliebige Werte sein können, dann kann ich damit leben. :-)

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In Deinem Beispiel f(x) = 1/x geht es ja gerade darum zu zeigen, dass kein Grenzwert für x₀ = 0 existiert - die Funktion selbst ist dort ja auch nicht definiert.

Das geht allerdings ohne die ε,δ Methode recht einfach: wenn Du Dich von rechts der Null näherst, sind die Werte immer positiv und streben gegen +∞, von links sind die Funktionswerte immer negativ und streben gegen -∞.

Es kann also keinen Grenzwert geben, höchstens einen rechts- und einen linksseitigen Grenzwert. Dies aber auch nicht, da die Werte nicht endlich sind.

Wenn man das aber nun unbedingt mit der ε,δ Methode zeigen will, geht das nur mit einem Widerspruchsbeweis und ist etwas kniffliger als wenn der Grenzwert existiert. Hier der Ansatz:

Angenommen, der Grenzwert \( g \) existiert, also gilt
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=g \quad \text { mit } g \in \mathbb{R} . \)

Nach der Definition des Grenzwertes müsste dann gelten:
Für jedes \( \varepsilon>0 \) gibt es ein \( \delta>0 \), sodass für alle \( x \) mit \( 0<|x|<\delta \) gilt:
\( \left|\frac{1}{x}-g\right|<\varepsilon . \)

Wähle z.B. \( \varepsilon=1 \).
Dann muss es ein \( \delta>0 \) geben mit:
\( 0<|x|<\delta \Rightarrow\left|\frac{1}{x}-g\right|<1 \text {. } \)

Betrachte nun die beiden Werte:
\( x_{1}=\frac{\delta}{2}>0 \quad \text { und } \quad x_{2}=-\frac{\delta}{2}<0 . \)

Beide erfüllen \( 0<\left|x_{i}\right|<\delta \)
Damit gilt also:
\( \left|\frac{1}{x_{1}}-g\right|<1 \quad \text { und } \quad\left|\frac{1}{x_{2}}-g\right|<1 . \)

Setzen wir die Werte ein:
\( \left|\frac{2}{\delta}-g\right|<1 \quad \text { und } \quad\left|-\frac{2}{\delta}-g\right|<1 . \)

Das bedeutet:
\( g \in\left(\frac{2}{\delta}-1, \frac{2}{\delta}+1\right) \quad \text { und } \quad g \in\left(-\frac{2}{\delta}-1,-\frac{2}{\delta}+1\right) . \)

Diese beiden Intervalle sind jedoch disjunkt, wenn wir δ genügend klein wählen.
Somit kann \( g \) nicht gleichzeitig in beiden Intervallen liegen, also war die Annahme, dass ein Grenzwert existiert falsch.

Answer 1

wird das δ bereits dargestellt, bevor ich das passende δ ermittelt habe

???

Man sucht ein \(\delta\) so, dass \(|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon\). Also: \(\varepsilon\) vorgegeben, dazu suche \(\delta\).

Forme dazu \(|f(x)-g| <\varepsilon\) so um, dass \(|x-x_0|< ...\) da steht, das auf der rechten Seite ist dann \(\delta\). Das ist das grobe Vorgehen, so fängt man mal an. Manchmal muss man was nach oben abschätzen, denn man braucht ja (s.o.) nur \(\implies\).

Also, probier mal.

Nebenbei: wenn der Weg des Nachweises nicht vorgegeben ist, geht es normalerweise mit Folgen viel einfacher.

Comments

Hallo Nudger,

vielen lieben Dank für deine Antwort. Ich werde mich noch mal an die Aufgaben setzen und versuchen, deine Hilfestellung anzuwenden.

Leider ist im Buch zu diesem Bereich ein fester Weg vorgeben. Mit Folgen hätte ich direkt sagen können, dass die Aufgabe keinen Grenzwert an dieser Stelle hat. :-) Das Buch ist manchmal etwas zu verworren. Vermutlich wurde dies bei einer neueren Auflagen behoben.

Ich werde mich auf jeden Fall weiter durchbeißen und hoffe, dass ich nicht weiter fragen muss.

Liebe Grüße

Thorsten

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Manchmal erscheint auch etwas verworren, weil man noch ungeübt ist. Frag ruhig nochmal, wenn was unklar ist.