Epsilon-Delta-Kriterium Grenzwert bei Funktion gegen x0

Question

Aufgabe:

Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zum Aufgabengebiet "Grenzwert einer Funktion gegen x₀ ". Zum lernen verwende ich das Buch:

Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 1, 1993, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 120.

In dem Beispiel geht es darum zu ermitteln, ob die Funktion \( \frac{1}{x} \) an der Stellte x₀ = 0 einen Grenzwert hat.

Problem/Ansatz:

Aus den vorherigen Beispiel wurde dies wie folgt verdeutlicht. Ich nähere mich x₀ von rechts und links so nah wie möglich an. Dadurch erhalte ich vereinfach eine Mittelwert g auf der y-Achse. Um diesen lege ich einen Intervall von ε = 0,2. Also g - ε und g + ε. Die Werte g + ε und g - ε setze ich in die Funktion ein und bekomme hierdurch die Ergebnisse für das δ auf der x-Achse. Hier nehme ich das kleineste δ zu x₀, dass ich nun als offenen Intervall x₀ - δ und x₀ + δ.

Mein Frage hierzu ist wie folgt: Bei allen grafischen Beispielen in diesem Buch, wird das δ bereits dargestellt, bevor ich das passende δ ermittelt habe. Woher kommt dieses δ? Kann ich es frei wählen?

Ich würde mich sehr freuen, wenn hierzu jemand eine Antwort für mich hätte. Die Berechnung bereitet mir keine Probleme, aber ich verstehe einfach nicht, woher diese Delta kommt.

Bei Bedarf kann ich gerne eine Grafik zeichnen und zur Verfügung stellen, falls meine Erklärung nicht ausreichen sollte.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

Viele Grüße

Thorsten

Comments

Schau Dir noch mal die Definition des Grenzwertes an.

Man muß nur zeigen, dass zu jedem beliebigen ε>0 solch ein δ existiert, damit der Grenzwert existiert. Auf den absoluten Wert von δ kommt es also nicht wirklich an, nur auf seine Existenz.

Im Prinzip sagt die Definition, wenn ich mich x₀ nur nahe genug nähere, nähert sich f(x) dem Grenzwert bei x₀ so nahe wie ich nur möchte.

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Vielen lieben Dank für deine Antwort. Die Definition hatte ich verstanden. Mir machen nur die Aufgaben in dem Buch und die immer wieder Kopfzerbrechen. Im Buch wurde lediglich durch Rückwärts-Rechnung von g+ε und g-ε nach x+δ und x-δ hingewiesen. Wenn das aber, wie du beschreibst, nur beliebige Werte sein können, dann kann ich damit leben. :-)

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In Deinem Beispiel f(x) = 1/x geht es ja gerade darum zu zeigen, dass kein Grenzwert für x₀ = 0 existiert - die Funktion selbst ist dort ja auch nicht definiert.

Das geht allerdings ohne die ε,δ Methode recht einfach: wenn Du Dich von rechts der Null näherst, sind die Werte immer positiv und streben gegen +∞, von links sind die Funktionswerte immer negativ und streben gegen -∞.

Es kann also keinen Grenzwert geben, höchstens einen rechts- und einen linksseitigen Grenzwert. Dies aber auch nicht, da die Werte nicht endlich sind.

Wenn man das aber nun unbedingt mit der ε,δ Methode zeigen will, geht das nur mit einem Widerspruchsbeweis und ist etwas kniffliger als wenn der Grenzwert existiert. Hier der Ansatz:

Angenommen, der Grenzwert \( g \) existiert, also gilt
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=g \quad \text { mit } g \in \mathbb{R} . \)

Nach der Definition des Grenzwertes müsste dann gelten:
Für jedes \( \varepsilon>0 \) gibt es ein \( \delta>0 \), sodass für alle \( x \) mit \( 0<|x|<\delta \) gilt:
\( \left|\frac{1}{x}-g\right|<\varepsilon . \)

Wähle z.B. \( \varepsilon=1 \).
Dann muss es ein \( \delta>0 \) geben mit:
\( 0<|x|<\delta \Rightarrow\left|\frac{1}{x}-g\right|<1 \text {. } \)

Betrachte nun die beiden Werte:
\( x_{1}=\frac{\delta}{2}>0 \quad \text { und } \quad x_{2}=-\frac{\delta}{2}<0 . \)

Beide erfüllen \( 0<\left|x_{i}\right|<\delta \)
Damit gilt also:
\( \left|\frac{1}{x_{1}}-g\right|<1 \quad \text { und } \quad\left|\frac{1}{x_{2}}-g\right|<1 . \)

Setzen wir die Werte ein:
\( \left|\frac{2}{\delta}-g\right|<1 \quad \text { und } \quad\left|-\frac{2}{\delta}-g\right|<1 . \)

Das bedeutet:
\( g \in\left(\frac{2}{\delta}-1, \frac{2}{\delta}+1\right) \quad \text { und } \quad g \in\left(-\frac{2}{\delta}-1,-\frac{2}{\delta}+1\right) . \)

Diese beiden Intervalle sind jedoch disjunkt, wenn wir δ genügend klein wählen.
Somit kann \( g \) nicht gleichzeitig in beiden Intervallen liegen, also war die Annahme, dass ein Grenzwert existiert falsch.

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Hallo user26605,

ich glaube so langsam, dass bei mir die größten Verständnisprobleme wegen der Schreibweise der Definitionen entstehen. In meinem Buch steht z.B. die Definition in Bezug zu der Aufgabe f(x) = \( \frac{1}{x} \):

δ = \( \frac{1}{g + ε} \)

Das ist für mich schwer zu verstehen. g + ε ist für mich der Wert auf der Y-Achse. Wenn man allerdings vom g + ε auf den X-Wert zurück rechnet und dieser muss in der Range von x₀ + δ liegen, dann verstehe ich es und es ist für mich logisch. In diesem Fall wäre auch klar, dass es nicht jedem g + ε ein passendes x₀ + δ gibt.

Vielleicht verstehst du jetzt mein Problem, dass ich mit den Aufgaben im Buch habe.

Deine Erklärung finde ich richtig gut und ich möchte mich ganz herzlich bei dir bedanken. Hätte ich diese Erklärung im Buch gehabt, dann hätte ich hier im Forum keinen Post schreiben müssen. Ich mich aber überglücklich, dass es dich und die anderen gibt, die mir und anderen so gut helfen. Vielen....vielen lieben Dank und ganz liebe Grüße, Thorsten

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Danke - aber ich bin mir nicht sicher, dass ich Dein Problem richtig verstehe. Vielleicht versuchst Du Dir zu viel graphisch vorzustellen (Werte auf y-Achse, Werte auf x-Achse), statt einfach zu rechnen.

Laß uns noch ein sehr einfaches Beispiel machen: Wir wollen zeigen, dass

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{2}=0   \)

gilt. Das bedeutet nach Definition:

Für jedes \( \varepsilon > 0\) müssen wir ein \( \delta>0 \) finden, so dass gilt:
\( |x-0|<\delta \quad \Rightarrow \quad\left|x^{2}-0\right|<\varepsilon . \)

in diesem einfachen Fall, da Grenzwert und x-Koordinate beide Null sind:
\( |x|<\delta \quad \Rightarrow \quad\left|x^{2}\right|<\varepsilon . \)

An dieser Stelle liegt vielleicht das Problem. ε Ist beliebig vorgegeben und nun sollen wir zu jedem dieser epsilons jeweils ein passendes δ finden, so daß die Implikation gilt. Dieses δ ist natürlich in der Regel von ε abhängig. Wir erwarten also irgendetwas von der Form δ = Funktion(ε).

Von diesen deltas gibt es weiterhin viele, es kommt nur darauf an, eines zu finden. Also machen wir uns das Leben leicht und wählen (durch scharfes hinsehen)

δ = \( \sqrt{\varepsilon} \)

Offensichtlich folgt nun die Behauptung, denn aus:

\( |x|<\delta \quad \Rightarrow \quad\left|x^{2}\right|<\delta^{2} \Longleftrightarrow \quad\left|x^{2}\right|<\varepsilon \)

Das sieht vielleicht auf den ersten Blick wie ein Taschenspielertrick aus, ist aber völlig korrekt. Wir schauen uns das gewünschte Ergebnis an und wählen dann das passende δ.

In dieser Art laufen typischerweise die Beweise ab, wenn der Grenzwert existiert.

In Deinem Beispiel existierte der Grenzwert jedoch nicht und der Beweis der Nicht-Existenz läuft völlig anders ab, wie oben beschrieben.

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Ich habe gerade mal eine kleine Grafik gezeichnet, die hoffentlich mein Verständnisproblem erklären kann. Im Buch wird dargestellt:

0 < x < \( \frac{1}{g + ε} \)

Ich kann diese Darstellung umstellen, jedoch verstehe ich hier die Aussage nicht. Würde dort stehen

0 < g + ε < f(x)

dann wäre der Fall für mich klar, da es in dieser Aufgabe x-Werte in der Definierten Range Uδ(x₀) gibt, die in der definierten Range Uε(g) keinen passenden Wert auf der Y-Achse haben. Somit hat die Funktion auch keinen Grenzwert.

Für mich wird es immer nur verworren, wenn x und g+ε verglichen werden.

Das war/ist in dem Buch irgendwie komisch dargestellt:

0 < x < \( \frac{1}{g + ε} \)  ⇒  0 < g + ε < \( \frac{1}{x} \)     ↦ \( \frac{1}{x} \) = f(x)

⇒ 0 < g + ε < f(x)

Mit ist auch nicht ganz klar, wie ich zu dieser Darstellung ohne Rechnen kommen soll. Ich muss doch eine Folge berechnen, damit ich zu diesem Schluss kommen kann. Oder sehe ich das falsch? Im Buch wird diese Aussage ohne zu rechnen dargestellt.

Verstehst du mich jetzt?

Liebe Grüße und noch einen schönen Abend

Thorsten

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Vorab, ich kenne das Buch nicht und kann daher nur Deine Aussagen kommentieren bzw. interpretieren.

Das gesagt, liegen hier wohl Mißverständnisse vor. Machen wir es Schritt für Schritt.

Wir betrachten nur den Bereich x > 0.

Da f(x) = \( \frac{1}{x} \) gilt ist der Funktionswert an jeder Stelle x=a (a≠0) immer der Kehrwert:

f(a) = \( \frac{1}{a} \).

Der Funktionswert an der Stelle \( \frac{1}{g+{ε}} \) ist also f(\( \frac{1}{g+{ε}} \)) = g+ε oder umgekehrt, der Funktionswert g+ε liegt an der Stelle \( \frac{1}{g+{ε}} \) vor.

Wir betrachten nun x-Werte mit 0 < x < \( \frac{1}{g + ε} \)

Also die Werte auf der X-Achse links von \( \frac{1}{g + ε} \) bis zur Null, Null natürlich ausgeschlossen.

Diese Ungleichung kann man in der Tat einfach umformen:

0 < x < \( \frac{1}{g + ε} \)  ⇒  0 < g + ε < \( \frac{1}{x} \)

und da \( \frac{1}{x} \) gerade unser f(x) ist, ist dies dasselbe wie:

0 < g + ε < f(x)

Wir haben bisher noch nichts getan außer Umformung einer Ungleichung, von einer Aussage bzgl. Nicht-Existenz eines Grenzwertes bei x=0 sind wir noch eine Argumentation entfernt. Dieser Teil müßte in Deinem Buch nun als nächstes kommen.

Zum Schluß noch:

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Würde dort stehen

0 < g + ε < f(x)

dann wäre der Fall für mich klar, da es in dieser Aufgabe x-Werte in der Definierten Range Uδ(x₀) gibt, die in der definierten Range Uε(g) keinen passenden Wert auf der Y-Achse haben. Somit hat die Funktion auch keinen Grenzwert

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Genau diese Ungleichung steht wie wir gesehen haben ja da bzw. steht sofort da nach elementarer Umformung.

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Es werden nicht \(x\) und \(g+\varepsilon\) verglichen. Ich glaube hier missverstehst du etwas.

Wenn \(g>0\) dein Grenzwert ist und \(\varepsilon>0\), dann hast du ja die \(\varepsilon\)-Umgebung um \(g\). Zu dieser Umgebung musst du jetzt eine \(\delta\)-Umgebung um \(x_0=0\) finden, so dass sämtliche Funktionswerte dieser Umgebung in der \(\varepsilon\)-Umgebung liegen.

Das funktioniert aber nicht, wenn du ein \(x\) aus dem Intervall \((0; \frac{1}{g+\varepsilon})\) betrachtest (man betrachtet jetzt nur die positive Seite der Umgebung), denn - und jetzt kommt genau das, was du offenbar nicht verstehst - für \(x\in(0;\frac{1}{g+\varepsilon})\) gilt dann \(0<x<\frac{1}{g+\varepsilon}\) (weil \(x\) ja aus diesem Intervall kommt).

Das lässt sich dann eben in die Ungleichungen \(0<g+\varepsilon<\frac{1}{x}=f(x)\) umformen. Die Ungleichung \(g+\varepsilon<f(x)\) zeigt jetzt allerdings, dass die Funktionswerte von \(x\in(0;\frac{1}{g+\varepsilon})\subset U_{\delta}(x_0)\) größer sind als die obere Begrenzung \(g+\varepsilon\) deiner \(\varepsilon\)-Umgebung.

Dieses Intervall kannst du für jedes \(\delta>0\) finden (man muss \(\varepsilon\) nur passend wählen, so dass \(\frac{1}{g+\varepsilon}<\delta\)) und deswegen gibt es an der Stelle keinen Grenzwert (wenn man das analog für Grenzwerte \(g<0\) macht).

Ich denke, dein Verständnisproblem liegt darin, dass du nicht verstehst, woher \(0<x<\frac{1}{g+\varepsilon}\) kommt. Das kommt aber einfach daher, weil man \(x\in(0;\frac{1}{g+\varepsilon})\) wählt.

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Hallo user26605,

Hallo Apfelmännchen,

vielen Dank für eure ausführlichen Erklärungen, Im Prinzip habe ich es jetzt verstanden. Allerdings habe ich noch eine Frage. Im Buch wird nicht erklärt, wie man zu diesen Behauptungen kommt. Dort wird entweder gezeigt, dass ich eine Grafik habe und es dort ablesen kann oder halt die logische Behauptung dargestellt. Ohne zu Rechnen, komme ich dort doch eigentlich nicht hin. Oder sehe ich das falsch. Zumindest an den Rändern von rechts und links von δ-Intervalls muss ich das doch machen. Oder?

Liebe Grüße

Thorsten

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In den meisten Fällen kann man der Funktion ansehen, ob sie einen Grenzwert hat. Diese hier hat auch überall einen Grenzwert, außer eben bei x=0, weil sie überall sonst ‚gutartig‘ ist.

Typische Fälle mit möglichen nicht-existierenden Grenzwerten sind also Brüche (Nullstellen im Nenner sind Kandidaten) oder oft auch abschnittsweise definierte Funktionen.

Also eigentlich weiß man, ob ja oder nein. Um es dann zu beweisen bzw. zu widerlegen nutzt man entweder streng die ε,δ Methode oder die üblichen Grenzwertsätze, die das Leben einfacher machen.

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Hier noch ein bekanntes Beispiel, die Vorzeichenfunktion (oder Signum-Funktion).

Sie wird so definiert:
\( \operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll} -1 & \text { für } x<0 \\ 0 & \text { für } x=0 \\ 1 & \text { für } x>0 \end{array}\right. \)

Offensichtlich existiert überall (da konstant) ein Grenzwert, bis auf die Stelle x=0. Dort existiert zwar der links- und der rechtsseitige Grenzwert, aber diese sind verschieden (und auch verschieden vom Funktionswert).

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Hallo Thorsten.

Das ist natürlich ein grundlegendes Problem, wenn man sich nur Musterlösungen anschaut. Natürlich fällt das alles nicht vom Himmel und wenn man entsprechende Aufgaben eigenständig bearbeiten möchte, dann gehört es natürlich dazu, dass man sich Gedanken macht. Dazu gehören immer Skizzen, um sich ein Bild von der Situation zu machen und natürlich auch der Versuch, verschiedene Werte auszuprobieren, um dann herauszufinden, was passt und wie man einen entsprechenden rechnerischen Nachweis führen kann. Diese ganze Vorbereitung findet man in den Musterlösungen allerdings nicht, weshalb es dann immer die Wirkung hat, als müsse einem die Lösung direkt vor die Füße fallen.

So funktioniert Mathematik allerdings nicht und das muss man sich stets einmal bewusst machen. Selbstverständlich musst du Rechnungen durchführen (nachdem man vorher eine Vermutung aufgestellt hat bspw. anhand einer Skizze) und deine Umgebungen passend finden. Mit der Zeit lernt man die Strategien und Gedankengänge (auch die von Musterlösungen) besser kennen und weiß dann auch, wie man bei solchen Aufgaben ansetzen kann, um zum Ziel zu kommen. Wichtig ist, dass man sich eigenständig damit beschäftigt und auch mal Dinge selbst durchrechnet, auch wenn das gerade zu Beginn nicht immer leicht ist. Außerdem sollte man wissen, dass es in den meisten Fällen nicht den einen Lösungsweg gibt. Mathematik ist viel mehr als stumpfes Rechnen.

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Hallo Apfelmännchen,

damit wäre auch meine letzte Frage geklärt. :-) Bei dieser Aufgabe handelte es sich nicht um eine Musterlösung aus dem Buch " Aufgaben + Lösungen". Es war die eigentliche Erklärung aus dem Buch. Deshalb bin ich ja so in schludern gekommen. Auf den vorherigen Seiten wird erklärt, wie man den Epsilon- und Delta-Intervall berechnet. Eine Seite weiter werden dann in der Grafik Intervalle gezeichnet, die niemals errechnet werden konnten und ich mich gefragt habe, wo diese Intervalle hergekommen sind. Zusätzlich werden dann rechnerische Überlegungen angestellt (siehe mein Problem oben).

Zu meiner Ehrenrettung hatte ich bereits Überlegungen angestellt und auch die Lösung gefunden. Über Folgen konnte ich errechnen, dass die Funktion in der Aufgabe keinen Grenzwert hat. Nur ich konnte es nicht so lösen, wie es Buch stand. Ich möchte gerne immer alles genau verstehen. Leider habe ich zu diesem Problem keine andere Literatur oder Videos gefunden.

Ich möchte hier auch noch einmal allen einen ganz lieben Dank aussprechen, die mir geholfen haben und bin sehr glücklich, dass es euch gibt. Leider gibt es niemanden in meinem Bekanntenkreis, den ich bei diesen Problem fragen kann. Umso glücklicher bin ich, dass es euch alle gibt.

Ganz liebe Grüße

Thorsten

Answer 1

wird das δ bereits dargestellt, bevor ich das passende δ ermittelt habe

???

Man sucht ein \(\delta\) so, dass \(|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon\). Also: \(\varepsilon\) vorgegeben, dazu suche \(\delta\).

Forme dazu \(|f(x)-g| <\varepsilon\) so um, dass \(|x-x_0|< ...\) da steht, das auf der rechten Seite ist dann \(\delta\). Das ist das grobe Vorgehen, so fängt man mal an. Manchmal muss man was nach oben abschätzen, denn man braucht ja (s.o.) nur \(\implies\).

Also, probier mal.

Nebenbei: wenn der Weg des Nachweises nicht vorgegeben ist, geht es normalerweise mit Folgen viel einfacher.

Comments

Hallo Nudger,

vielen lieben Dank für deine Antwort. Ich werde mich noch mal an die Aufgaben setzen und versuchen, deine Hilfestellung anzuwenden.

Leider ist im Buch zu diesem Bereich ein fester Weg vorgeben. Mit Folgen hätte ich direkt sagen können, dass die Aufgabe keinen Grenzwert an dieser Stelle hat. :-) Das Buch ist manchmal etwas zu verworren. Vermutlich wurde dies bei einer neueren Auflagen behoben.

Ich werde mich auf jeden Fall weiter durchbeißen und hoffe, dass ich nicht weiter fragen muss.

Liebe Grüße

Thorsten

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Manchmal erscheint auch etwas verworren, weil man noch ungeübt ist. Frag ruhig nochmal, wenn was unklar ist.