Danke - aber ich bin mir nicht sicher, dass ich Dein Problem richtig verstehe. Vielleicht versuchst Du Dir zu viel graphisch vorzustellen (Werte auf y-Achse, Werte auf x-Achse), statt einfach zu rechnen.
Laß uns noch ein sehr einfaches Beispiel machen: Wir wollen zeigen, dass
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{2}=0 \)
gilt. Das bedeutet nach Definition:
Für jedes \( \varepsilon > 0\) müssen wir ein \( \delta>0 \) finden, so dass gilt:
\( |x-0|<\delta \quad \Rightarrow \quad\left|x^{2}-0\right|<\varepsilon . \)
in diesem einfachen Fall, da Grenzwert und x-Koordinate beide Null sind:
\( |x|<\delta \quad \Rightarrow \quad\left|x^{2}\right|<\varepsilon . \)
An dieser Stelle liegt vielleicht das Problem. ε Ist beliebig vorgegeben und nun sollen wir zu jedem dieser epsilons jeweils ein passendes δ finden, so daß die Implikation gilt. Dieses δ ist natürlich in der Regel von ε abhängig. Wir erwarten also irgendetwas von der Form δ = Funktion(ε).
Von diesen deltas gibt es weiterhin viele, es kommt nur darauf an, eines zu finden. Also machen wir uns das Leben leicht und wählen (durch scharfes hinsehen)
δ = \( \sqrt{\varepsilon} \)
Offensichtlich folgt nun die Behauptung, denn aus:
\( |x|<\delta \quad \Rightarrow \quad\left|x^{2}\right|<\delta^{2} \Longleftrightarrow \quad\left|x^{2}\right|<\varepsilon \)
Das sieht vielleicht auf den ersten Blick wie ein Taschenspielertrick aus, ist aber völlig korrekt. Wir schauen uns das gewünschte Ergebnis an und wählen dann das passende δ.
In dieser Art laufen typischerweise die Beweise ab, wenn der Grenzwert existiert.
In Deinem Beispiel existierte der Grenzwert jedoch nicht und der Beweis der Nicht-Existenz läuft völlig anders ab, wie oben beschrieben.
