Für welche eingesetzten Ziffern ist 52▢2▢ durch 36 teilbar?

Question

Aufgabe:

Mit welchen Ziffern müssen die Leerstellen in 52▢2▢ belegt werden, damit die entstehende fünfstellige Zahl durch 36 teilbar wird? Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Antwort:

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36 kann man in Primfaktorzerlegung wie folgt darstellen:

36 = 2² * 3²

Eine Zahl ist durch 2² = 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist. Damit kommen für die Einer folgende Ziffern infrage: 0, 4 und 8.

Eine Zahl ist durch 3² = 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Da die bestehenden Ziffern bereits eine Quersumme von 9 haben, muss die Summe der eingesetzten Ziffern 0 oder 9 betragen. Damit kommen folgende Ziffern infrage: (0, 0), (9, 0), (5, 4), (1, 8).

Es gibt demnach 4 Möglichkeiten.

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Comments

Mathecoach, was genau ist der Anlass für deinen Zweifel an deiner Lösung? Auf der rechten Leerstelle kann nur 0, 4 oder 8 stehen (Regel für Teilbarkeit durch 4). Nur bei Eintragung der 0 bleiben zwei Möglichkeiten (0 oder 9) für die linke Leerstelle (Regel für Teilbarkeit durch 9).

Answer 1

(Ohne in die Lösungen geguckt zu haben): Bei einer Zahl, die durch eine gerade Zahl geteilt werden soll, muss die Einerzahl auch gerade sein, also die letzte Zahl muss 0,2,4,6,8 sein. Zusammen mit dieser Eigenschaft muss die Zahl eine durch 3 teilbare  Quersumme besitzen, da 36 eine Vielfache von 3 ist, also kann man für jede gerade Einerzahl eine Fallunterscheidung machen.

Man kann das mittels Subtraktion herausfinden, wenn beide Terme durch 36 teilbar ist, dann

Für 0: hätten wir mit der zweiten Eigenschaft 52020 (=54000-1980, beide Terme durch 36 teilbar, also somit auch die Diferrenz), 52320 hätte auch die zwei obersten Eigenschaften, aber weil der Zufluss von 300 nicht durch 36 teilbar ist, geht es nicht. Doch der Zufluss von 900 ist teilbar, also geh auch 52920

Ab hier schreibe ich meine Lösungen, kann jeder dann nachrechnen.

für 2: keine

für 4:  52524

für 6 : keine
für 8: 52128 Also insgesamt 4

Comments

Schon recht gut. Vielleicht schaust du trotzdem nochmals in die Lösung. Vielleicht habe ich auch einen Fehler gemacht.

Answer 2

Okay, ich habe mir die Lösung nicht angesehen und würde so vorgehen:

(1) Zunächst ist \(36=9\cdot 4\) eine mögliche Zerlegung des Divisors in zwei teilerfremde Faktoren.

(2) Um die Teilbarkeit durch \(4\) zu sichern, muss die aus den letzen beiden Ziffern des Dividenden bestehende Zahl durch \(4\) teilbar sein. Das ist der Fall, wenn die Einer-Stelle mit einer der Ziffern \(0\), \(4\) oder \(8\) belegt wird.

(3) Um die Teilbarkeit durch \(9\) zu erreichen, muss die Quersumme durch \(9\) teilbar sein. Dazu muss (wegen 5+2+2=9) die Hunderter-Stelle so belegt werden, dass diese Ziffer, zur Ziffer der Einer-Stelle addiert, durch \(9\) teilbar ist. Das ist genau für die vier Paare \((0,0)\), \((9,0)\), \((5,4)\) und \((1,8)\) der Fall.