Bestimme die Grenzwerte mit l‘Hospital

Question

Aufgabe:

Wir sollen diese Aufgaben mit l‘Hospital lösen.

(a)   \(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x^{2}}{x} \)

(b)   \(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \)

(c)   \(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{4 x}\right)^{x} \)

(d)   \(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt[x]{x} \)

(e)   \(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{4}+4}-x^{2} \)

Problem/Ansatz:

Die meisten sind kein Problem, aber bei c) und d) könnte ich einen Tip gebrauchen. Ich kann c) mit der e Folge lösen aber nicht mit l‘Hospital.

Answer 1

Schreibe mittels \(u=e^{\ln u}\) um und betrachte nur die Konvergenz des Terms \(\ln u\). Den dann mit l'H.

Comments

Das gilt sowohl für c) als auch für d).

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ah, das wars - Und das geht egal ob der Grenzwert existiert oder nicht?

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Im Prinzip ja (l'H sagt ja insb. auch, konvergiert die eine Funktion, konv. auch die andere). Beim Einsetzen sind natürlich die Definitionsbereiche zu beachten, z.B. \(u=e^{\ln u}\) geht nur \(u>0\), aber \(u=\ln e^u\) geht für \(u\in \mathbb{R}\).

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Du untersuchst dann ln(a^b) = b·ln(a) = ln(a) / (1/b)

Dabei muss der Ausdruck natürlich keinen Grenzwert haben. Du siehst aber, dass bei Potenzen es günstig ist, die Umschreibung mit dem ln vorzunehmen, da man so die Basis vom Exponenten geschickt trennen kann.

Willst du das einfach mal probieren? Wenn du nicht weiter kommst oder eine Frage hast, melde dich gerne nochmals.