Die erste Ableitungsfunktion {f}^{\prime} ist für {x} 0 streng monoton steigend.Welche Abbildung zeigt den Graphen …

Question

Aufgabe:

Benötige dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

Text erkannt:

Für die erste Ableitungsfunktion \( f^{\prime} \) einer Funktion \( f \) gilt:
Die erste Ableitungsfunktion \( f^{\prime} \) hat zwei Nullstellen \( \mathrm{x}_{\mathrm{N} 1}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N} 1}<0\right) \) und \( \mathrm{x}_{\mathrm{N} 2}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{N} 2}>0\right) \).
Die erste Ableitungsfunktion \( \mathrm{f}^{\prime} \) ist für \( \mathrm{x}<0 \) streng monoton fallend und für \( \mathrm{x}>0 \) streng monoton steigend.Welche Abbildung zeigt den Graphen einer solchen Funktion \( f \) ?
□

Comments

Gehe Bedingung für Bedingung durch:

f‘ hat zwei Nullstellen, also f zwei waagrechte Tangenten, also kommen nur Bild 3, 4 oder 5 (von links gezählt)  in Frage.

Davon ist eine links von der y achse und eine rechts, also scheidet 3 aus.

Die letzte Bedingung dreht sich um konvex oder konkav und sagt Dir, ob es 4 oder 5 ist.

---

Wie genau unterscheide ich zwischen konvex und konkav? Also wie schließe ich von der Monotonie auf die Krümmung? LG

---

Durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung, wenn negativ dann konkav.

---

Wenn eine Funktion streng monoton fallend ist, dann ist die Ableitung negativ.

Das gleiche gilt sinngemäß für die erste Ableitung:

Wenn die erste Ableitung streng monoton fallend ist, dann ist deren Ableitung (also die zweite Ableitung der ursprünglichen Funktion) negativ.

---

Wie genau unterscheide ich zwischen konvex und konkav?

siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

Answer 1

Wenn die 1. Ableitungsfunktion 2 Nullstellen hat, dann könnte es sich bei einer Polynomfunktion um 2 Extrempunkte handeln. Theoretisch wäre auch 1 Extrempunkt und 1 Sattelpunkt oder gar 2 Sattelpunkte möglich.

Damit kann man Graph 1 und 2 schon ausschließen. Graph 3 kann man ebenso ausschließen, weil dort beide Extremstellen positiv sind und nicht eine negativ und die andere positiv.

Das Steigungsverhalten der 1. Ableitung ist nun aber das Krümmungsverhalten (Rechts- bzw. Linksgekrümmt) der Originalfunktion.

Dabei bedeutet eine Linkskrümmung, dass die Steigung der 1. Ableitung ansteigt.

Damit ist der 4. Graph die gesuchte Funktion. Du kannst sie auch schnell skizzieren, um sich das zu visualisieren.

~plot~ x^3-x;3x^2-1;6x ~plot~