Koordinatentransformation in 2D

Question

Aufgabe:

Hallo,

kann ich hier den Skalierungsfaktor für die x-Achse und y-Achse einfach berechnen, indem ich die Diagonalen auf dem Bild der rechten Seite berechne ? Also  dann hätte die Skalierungsmatrix sqrt(2^2 + 1.5 ^2) auf ihrer Diagonalen. Würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

Nach dem Drehen und Verschieben nach unten streckt man in x-Richtung mit dem Faktor \( 4 / (\sqrt{2}\cdot 2) \) und in y-Richtung mit dem Faktor \( 3 / (\sqrt{2}\cdot 2) \)

Comments

danke für die Antwort , wie hast du die Faktoren abgelesen ?

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Die Diagonalen beim Bild links sind \( \sqrt{2} \cdot 2 \) lang. Die sollen 4 bzw. 3 lang werden. Abgelesen jeweils an der Achsenbeschriftung.

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ah okay, dann wären in dem Bild unten die Skalierungsfaktoren für y z.B. 2/sqrt(2) und für x dann auch 2/sqrt(2). weil die digonalen ja sich mit der x bzw. y-achse decken, nach der trafo.

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Beachte, dass sich bei der Zusatzfrage der Winkel zwischen den beiden roten Pfeilen verändert. Das ist bei der ursprünglichen Frage nicht der Fall.

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Wie wäre dann in diesem Fall das Vorgehen ?

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WIe lautet bei der Zusatzfrage die vollständige Aufgabe wörtlich?

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Nun wird ein 2D-Objekt durch eine weitere 3 × 3-Matrix

~
M
~
abgebildet. Die Abbildung zeigt, wie der Ursprung und die Standardbasis transformiert werden. Schreiben Sie direkt alle Einträge der Matrix

~
M
~
auf, ohne Berechnungen durchzuführen.

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oh und ich meinte die skalierungsfaktoren sind gleich 1/sqrt(2)

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Die Matrix hätte dann wahrscheinlich die Form

\( \begin{pmatrix} a & b & 2 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

mit

\( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +\frac{1}{2} \\1 \end{pmatrix}  \)     (rechter roter Vektor in zweiter Abbildung)

und

\( \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}  \)     (linker roter Vektor in zweiter Abbildung)

Du kannst es ausprobieren, bspw. mit ein paar eindeutigen Punkten bspw. den Koordinaten des linken (aus Betrachterseite) Ohrs /  Horns dieses Tieres:

wobei als dritte Koordinate immer die 1 verwendet wird.