komplexe Zahlen - Betrag und Argument

Question

Berechnen Sie

\( w=\frac{3-4 j}{2+j} . \)

(a) Geben Sie \( w \) in der Form \( x+y j \) mit \( x, y \in \mathbb{R} \) an.
(b) Bestimmen Sie den Betrag \( |w| \).
(c) Geben Sie das Argument von \( w \) (im Bereich \( -\pi, \pi \) ) an.

Meine Ergebnisse zu a und b sind

\(w=\frac{2}{5}-\frac{11}{5}j\) und \(|w|=\sqrt{5}\)

Bei c würde ich, da kein Taschenrechner verwendet werden darf, angeben

\(\phi=\text{tan}^{-1}(5,5)\). Kann ich das so schreiben?

Danke im Voraus!

Answer 1

Ich würde gemäß der 3. binomischen Formel erweitern

w = (3 - 4i) / (2 + i)
w = (3 - 4i)(2 - i) / ((2 + i)(2 - i))
w = (6 - 11i + 4i^2) / (2^2 - i^2)
w = (2 - 11i) / 5
w = 2/5 - 11/5·i

|w| = √((2/5)^2 + (11/5)^2) = √5

α = arctan((- 11/5) / (2/5)) = arctan(- 5.5) ≈ -1.391

Comments

Also war mein Fehler "nur" das Vorzeichen und ich kann den Winkel so schreiben.  Erweiterung habe ich genauso gemacht wie du. Wunderbar!

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Prima. Und klar darfst du auch den Winkel auch als

α = arctan(- 5.5)

stehenlassen.Gerade wenn du nur eine handgeschriebene Formelsammlung verwenden darfst.

In dem Skript stehen alle möglichen Winkelformen.

Bei c) stand ja das Intervall dabei aus dem der Winkel kommen soll. Darauf ist zu achten. Denn es könnte ja auch das Intervall von 0 bis 2pi oder 0 bis 360° dort stehen können.

Answer 2

Wo ist denn das Problem? Du bist doch anscheinend mit wolframalpha vertraut?! Daher weißt Du ja schon, dass die Ergebnisse zu a) und b) richtig sind.

Der Winkel stimmt so nicht, achte auf's Vorzeichen und mach grundsätzlich eine Skizze.

In welcher Form der Winkel anzugeben ist, geht aus dem Kontext (Vorlesung, Buch, Skript, usw.) hervor.

Comments

In dem Skript stehen alle möglichen Winkelformen. Diese Aufgabe ist aus einer Probeklausur mit dem ausdrücklichen Hinweis, das als Hilfsmittel nur eine handgeschriebene Formelsammlung zulässig ist.

Mit den komplexen Zahlen beschäftige ich mich erst seit einer Woche, weil der Sohn einer Freundin eine Klausur schreibt und mich um Hilfe gebeten hat.

Deswegen würden mir Fehlerkorrekturen mit Hinweisen schon reichen. Ich muss das nicht alles verstehen. ;-)