Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
In Teil (d) sollst du die Punkte durch eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 approximieren. Das führe ich dir hier ausführlich vor. Teil (b) kannst du dann analog lösen.
Wir haben die 7 Messpunkte gegeben und suchen eine Funktion$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$die möglichst nahe an diesen 7 Messpunkten verläuft.
Dazu setzen wir alle 7 Punkte in die Funktionsgleichung ein:$$\begin{array}{lcrrrrrrrr}f(0)=&0&+&0&+&0&+&d&\stackrel{!}{=}&1,5\\f(1)=&a&+&b&+&c&+&d&\stackrel{!}{=}&9\\f(2)=&8a&+&4b&+&2c&+&d&\stackrel{!}{=}&30\\f(3)=&27a&+&9b&+&3c&+&d&\stackrel{!}{=}&50\\f(4)=&64a&+&16b&+&4c&+&d&\stackrel{!}{=}&67\\f(5)=&125a&+&25b&+&5c&+&d&\stackrel{!}{=}&88\\f(6)=&216a&+&36b&+&6c&+&d&\stackrel{!}{=}&88\end{array}$$
und erhalten ein Gleichungssystem mit 7 Gleichungen und 4 Unbekannten. Gleichungssysteme mit weniger Unbekannten als Gleichungen haben im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, sind also im Allgemeinen nicht exakt lösbar. Wir können aber zumindest versuchen, eine ungefähre Lösung zu finden. In Matrix-Schreibweise formuliert, heißt das:$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\8 & 4 & 2 & 1\\27 & 9 & 3 & 1\\64 & 16 & 4 & 1\\125 & 25 & 5 & 1\\216 & 36 & 6 & 1\end{array}\right)}_{=\mathbf A}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}_{=\vec x}\approx\underbrace{\begin{pmatrix}1,5\\9\\30\\50\\67\\88\\88\end{pmatrix}}_{=\vec b}$$
Zu diesem Zweck addieren wir auf der rechten Seite der Gleichung einen Hilfsvektor \(\vec h\), den wir so wählen können, dass die Matrix-Gleichung erfüllt wird:$$\mathbf A\cdot\vec x=\vec b+\vec h$$
Die bestmögliche Näherung erhalten wir, wenn der Hilfsvektor \(\vec h\) möglichst kurz ist. Das ist genau dann der Fall, wenn er orthogonal zu allen Spaltenvektoren der Matrix \(\mathbf A\) ist, wenn also \(\mathbf A^T\cdot\vec h=\vec 0\) gilt. Daher multiplizieren wir zur Bestimmung der bestmöglichen Lösung beide Seiten der Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Matrix \({\mathbf A}^T\), woduch wir den Hilfsvektor \(\vec h\) wieder loswerden:$$\mathbf A^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x=\mathbf A^T\cdot\vec b+\underbrace{\mathbf A^T\cdot\vec h}_{=\vec 0}$$
Multiplizieren wir also im konkreten Fall die transponierte Matrix \(\mathbf A^T\) von links an die Matrix-Gleichung, so erhalten wir:$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}67171&12201&2275&441\\12201&2275&441&91\\2275&441&91&21\\441&91&21&7\end{array}\right)}_{=\mathbf A^T\cdot\mathbf A}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}_{=\vec x}=\underbrace{\begin{pmatrix}35895\\7019\\1455\\333,5\end{pmatrix}}_{=\mathbf A^T\cdot\,\vec b}$$
Dieses Gleichungssystem ist nun lösbar und wir erhalten:$$a=-0,81944\;;\;b=6,857143\;;\;c=2,950397\;;\;d=1,27381$$und damit schließlich die gesuchte ganzrationale Funktion vom Grad 3 als Näherung:$$f(x)=-0,8194\cdot x^3+6,8571\cdot x^2+2,9504\cdot x+1,2738$$
~plot~ -0,8194*x^3 + 6,8571*x^2 + 2,9504*x + 1,2738; {0|1,5} ; {1|9} ; {2|30} ; {3|50} ; {4|67} ; {5|88} ; {6|88} ; [[-1|7|0|100]] ~plot~
Für den Fall (b) kannst du nun analog rechnen mit dem Ansatz:$$g(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$
