Question

Gibt alle Winkel in Abhängigkeit von α und β an.

∠ADC = ...

∠AMB = ...

∠BAM = ...

∠BMC = ...

∠CAD = ...

∠CBM = ...

∠MCB = ...

Comments

Das ist Eigenmann im Vorschulalter.

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Das ist Eigenmann im Vorschulalter.

Das muss nicht als Ironie gekennzeichnet werden. Merkt man auch so.

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Gib das Verhältnis der Summe der Flächeninhalte der vier Segmente des Einheitskreises zum Flächeninhalt des Vierecks in Abhängigkeit von alpha und beta an, und finde das Minimum. (Aufgabe ohne Taschenrechner)

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oberes Dreieck:

Höhe = Flächeninhalt = sin (180° - 2 β)

unteres Dreieck:

Höhe = Flächeninhalt = sin (180° - 2 α)

Verhältnis = \(\displaystyle \frac{\pi-(\sin(180^\circ-2\alpha)+\sin(180^\circ-2\beta))}{\sin(180^\circ-2\alpha)+\sin(180^\circ-2\beta)} \)

mit Minimum dort, wo der Nenner maximal ist, also wenn die beiden Winkel 45° betragen.

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Sei K der Flächeninhalt des Kreises und A der Flächeninhalt des Vierecks, ist also das Minimum von (K - A) / A = K/A - 1 gesucht.

Obiger Ausdruck hat ein Minimum, wenn die Fläche des Vierecks ein Maximum annimmt. Das ist der Fall, wenn für die Grundseite AC die Strecken MB und MD senkrecht auf dieser Grundseite stehen.

In dem Fall wäre das Viereck ABCD ein Quadrat, weil die Längen der Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und gleich lang sind. Damit müssen die Winkel α und β aus Symmetriegründen 45° groß sein.

Dann sind die Flächen

K = pi ; A = 2

und damit das Verhältnis bei Benutzung des Einheitskreises

Q = K/A - 1 = pi/2 - 1

Answer 1

Um anderen den Spaß nicht zu verderben, im Spoiler.

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\(\angle ADC=90^\circ\) (Thaleskreis Dreieck \(ACD\))

\(\angle BAM=\alpha\) (Basiswinkel gleichschenkliges Dreieck \(ABM\))

\(\angle AMB=180^\circ-2\alpha\) (Winkelsumme Dreieck \(ABM\))

\(\angle BMC=2\alpha\) (Außenwinkelsatz Dreieck \(ABM\))

\(\angle CBM=90^\circ-\alpha\) (Thaleskreis Dreieck \(ABC\))

\(\angle MCB=\angle CBM=90^\circ-\alpha\) (Basiswinkel gleichschenkliges Dreieck \(BCM\))

\(\angle CAD=90^\circ-\beta\) (Winkelsumme Dreieck \(ACD\))

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Comments

Hm. Ich sehe da ein paar Unstimmigkeiten. Offensichtlich fandest du einige meiner Winkelbezeichnungen nicht korrekt und hast dann eigene benutzt.

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Offensichtlich

Was bei dir alles so offensichtlich ist...

War lediglich ein Buchstabendreher. Ist korrigiert. Ansonsten habe ich nur die Reihenfolge entsprechend der Reihenfolge der Berechnung angepasst.

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Dann hätte ich noch einen anderen Winkel für ∠CAD. Hier hast du wohl ∠BAD berechnet.

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Es war spät. Da war natürlich ein \(\alpha\) zu viel und es geht über die Winkelsumme im Dreieck natürlich einfacher. :)