Zeige, dass die Folge a_{n} = sin(n^2) keinen Grenzwert hat

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Folge a_n = sin(n²) keinen Grenzwert hat.

Problem/Ansatz:

Also ich zeige, dass die Folge mehr als einen Häufungspunkt hat, jedoch fallen mir hier irgendwie keine geeigneten Teilfolgen ein. Gäbe es sonst eine Möglichkeit das zu zeigen?

Comments

Ist eigentlich Deine vorige Frage ausreichend beantwortet?

---

Na ja nicht so wirklich, aber gute Ansätze. Damit konnte ich schon gut arbeiten

---

a_n = sin(n) könnte man noch mit relativ elementaren Mitteln zeigen.

Bei der gegebenen Folge muß man wohl anders argumentieren (Kroneckers Dichtheitssatz?).

Answer 1

Wie schaut es mit

\( n_k=⌊ \sqrt{c+2 \pi k}⌋\)

für verschiedene \( c \in [0; 2 \pi] \) aus?

Zeige dann \( \sin(n_k^2) \rightarrow \sin(c) \) für \( k \rightarrow \infty \).

Comments

Die Folge $$(\sin(n_k^2))_k$$ ist doch keine Teilfolge von (a_n)?

---

Kann ich gerade nicht nachvollziehen.

---

Entschuldigung, ich habe Deinen Beitrag falsch gelesen, also die Klammern falsch gelesen.

---

Aber dann die Frage: Wenn

$$n_k= \lfloor \sqrt{c+2 \pi k} \rfloor=\sqrt{c+2 \pi k}+r_k, \quad r_k \in [0,1)$$

dann ist

$$n_k^2=c+2 \pi k+2r_k\sqrt{c+2 \pi k}+r_k^2$$

Wie kann man dann zeigen, dass \(\sin(n_k^2) \to \sin(c)\)?

---

Sollte doch gehen, wenn man \( n_{k+1}-n_k \rightarrow 0 \) ausnutzt.