Es würde helfen zu wissen, was du bereits über das Problem weißt, in welchem Kontext du dem Problem begegnet bist etc., dann kann man Dir auch besser helfen. Ich fange bei dem Thema quasi von \(0\) an.
Vielleicht, vielleicht auch nicht weißt du ja, dass:
Lemma: Für jedes \(l \in[-1,1]\) ist \(l\) ein Häufungspunkt von \((\sin(n))_{n\in\mathbb{N}}\).
Beweis: Da die Periode \(2\pi\) irrational ist, existiert für alle \(N\in\mathbb{N},\varepsilon>0,x\in[0,2\pi)\) solche \(n\geq N, k\in\mathbb{N}\), sodass \(|n-(x+2\pi k)|<\varepsilon\). Das folgt bei Division durch \(k\) daraus, dass die rationalen Zahlen dicht in den Irrationalen sind. Wörtlich interpretieren solltest du das als: Für jedes \(x\in[0,2\pi)\) existieren beliebig große \(n\in\mathbb{N}\), die modulo \(2\pi\) beliebig nah an \(x\) sind.
Da \(|\sin'(x)|\leq 1\) für alle \(x\in\mathbb{R}\), gilt für beliebige \(x,y\in\mathbb{R}:|\sin(x)-\sin(y)|\leq |x-y|\).
Jetzt nehmen wir uns ein \(l\in[-1,1]\) und bekommen ein \(x\in[0,2\pi)\) mit \(\sin(x)=l\). Wir können induktiv eine streng monoton steigende natürliche Folge \(x_n\) (also eine Teilfolge von \(a_n=n\)) konstruieren, sodass gilt:
\(\left|x_{n}-(x+2\pi k)\right|\leq \frac{1}{n}\), was wir aus obiger Überlegung bekommen, wenn wir \(N=x_{n-1}+1\text{, }\varepsilon=\frac{1}{n}\) setzen, mit irgendeinem Startwert für \(N\). Wir merken uns übrigens die Folge \(k_n\) der \(k\)'s, die wir oben für jedes \(x_n\) brauchen (das ist ohne weiteres keine streng monoton steigende Folge von natürlichen Zahlen, muss es aber auch nicht sein!).
Einsetzen ergibt jetzt \(\left|\sin(x_{n})-\sin(x)\right|\leq \left|\sin(x_{n})-\sin(x+2\pi k_n)\right|\leq \left|x_n - (x+2\pi k_n)\right|\leq \frac{1}{n}\), und damit haben wir eine Teilfolge \(x_n\) von \(a_n=n\) gefunden, sodass \(\sin(x_n)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\sin(x)=l\).
Diesen Beweis kannst du genau so natürlich auch für den Cosinus führen, und im Allgemeinen für Lipschitz-stetige periodische Funktionen mit irrationaler Periode. Die Abschätzung der Distanzen \(\left|f(x)-f(y)\right|\) und \(\left|x-y\right|\) müsste noch korrigiert werden um einen Faktor, nämlich die maximale Streckung von \(f\), die ist aber immer endlich, da begrenzt durch gegebene Lipschitzkonstante.
Wie kommt man jetzt vom Lemma zu deiner Aufgabe?
Du könntest eigenständig versuchen, den Fakt zu verallgemeinern und Beweis zu modifizieren für alle Teilfolgen \(b_n\) von \(a_n=n\), sodass \(b_n\) immer noch dicht modulo \(2\pi\) ist, und dann zum Beispiel zeigen, dass \(b_n=n^2\) diese Eigenschaft hat.
Oder du könntest, wenn du etwas Ahnung von Topologie hast (wie gesagt, weiß ich nicht, weil du nichts angegeben hast), den Beweis stark verkürzen, indem du ihn etwas verallgemeinerst: Wenn du weißt, dass \(\pi_a(\mathbb{N})\) dicht in \([0,1]\) ist, (wobei \(\alpha\) die irrationale Periode deiner stetigen Funktion und \(\pi_\alpha\) die gestrecke Projektion modulo \(\alpha\) ist), dann schickt \(\pi_\alpha\) dichte Mengen auf im Bild dichte Mengen. Die Menge der Grenzwerte von Teilfolgen wäre jetzt genau der Abschluss dieser Menge, das muss ganz \([0,1]\) sein, und damit wärst du fertig.
Um dich da noch etwas zu orientieren, das klappt außer in degenerierten Fällen immer. Weyl 1916 Satz 8&9 sagen zusammen aus, dass für beliebige reelle Polynome \(f\), die mindestens einen irrationalen Koeffizienten außer der Konstante haben, die Folge \(f(n)\mod 1\) nicht nur dicht (das könntest du beweisen), sondern sogar gleichverteilt in \([0,1]\) ist (das ist sehr schwer!). Anstelle dir also die Zähne auszubeißen im Wahr-Falsch-Teil einer Klausur, ob die Folge \(\sin(7n^5+31n^2-8)\) konvergiert: Die Funktion \(\sin(x/(2\pi))\) hat Periode \(1\), das Polynom \(f(x)=2\pi\cdot(7x^5+31x^2-8)\) ist nichtkonstant und hat einen irrationalen Leitkoeffizienten, damit ist \(f(n)\mod 1\) dicht in \([0,1]\) und du hast ganze Bild als Limit points. Dahingegen könnte \(\sin(8\pi n^3 +\pi)\) evtl. konvergent sein, könnte auch endlich viele oder unendlich viele Häufungspunkte haben (die Folge ist tatsächlich konstant \(0\)).
