Zeige, dass die Folge a_{n} = sin(n^2) keinen Grenzwert hat

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Folge a_n = sin(n²) keinen Grenzwert hat.

Problem/Ansatz:

Also ich zeige, dass die Folge mehr als einen Häufungspunkt hat, jedoch fallen mir hier irgendwie keine geeigneten Teilfolgen ein. Gäbe es sonst eine Möglichkeit das zu zeigen?

Comments

Ist eigentlich Deine vorige Frage ausreichend beantwortet?

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Na ja nicht so wirklich, aber gute Ansätze. Damit konnte ich schon gut arbeiten

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a_n = sin(n) könnte man noch mit relativ elementaren Mitteln zeigen.

Bei der gegebenen Folge muß man wohl anders argumentieren (Kroneckers Dichtheitssatz?).

Answer 1

Wie schaut es mit

\( n_k=⌊ \sqrt{c+2 \pi k}⌋\)

für verschiedene \( c \in [0; 2 \pi] \) aus?

Zeige dann \( \sin(n_k^2) \rightarrow \sin(c) \) für \( k \rightarrow \infty \).

Comments

Die Folge $$(\sin(n_k^2))_k$$ ist doch keine Teilfolge von (a_n)?

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Kann ich gerade nicht nachvollziehen.

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Entschuldigung, ich habe Deinen Beitrag falsch gelesen, also die Klammern falsch gelesen.

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Aber dann die Frage: Wenn

$$n_k= \lfloor \sqrt{c+2 \pi k} \rfloor=\sqrt{c+2 \pi k}+r_k, \quad r_k \in [0,1)$$

dann ist

$$n_k^2=c+2 \pi k+2r_k\sqrt{c+2 \pi k}+r_k^2$$

Wie kann man dann zeigen, dass \(\sin(n_k^2) \to \sin(c)\)?

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Sollte doch gehen, wenn man \( n_{k+1}-n_k \rightarrow 0 \) ausnutzt.

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(n_k) ist doch eine Folge natürlicher Zahlen. Wie kann die Differenz gegen 0 gehen?

Sehe gerade: Du hast ja Abrundung genommen, dann müsste es -r_k heißen.

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Ja, ich glaube, mit der Konstruktion einer Teilfolge kommt man hier wohl doch nicht weiter. Hab mich wohl ein wenig verrannt.

Allerdings sollte eine Argumentation über Dichtheit und Stetigkeit der Sinusfunktion Abhilfe schaffen, wenn man beispielsweise die Indizes so wählt, dass

\(n_k^2\mod 2\pi\in (\frac{\pi}{2}-\frac{1}{k};\frac{\pi}{2}+\frac{1}{k})\)

gilt.

Alternativ ginge sicherlich auch ein Widerspruchbeweis, indem man annimmt, dass ein Grenzwert \(g\) existiert und unter Anwendung eines Additionstheorems die Differenz

 \(\sin((n+1)^2)-\sin(n^2)=2\cos(n^2+n+\frac{1}{2})\sin(n+\frac{1}{2})\)

betrachtet und zeigt, dass diese nicht gegen 0 konvergiert.