Question

Quadratische Ungleichung mit Bruch – Verständnisfrage

Text erkannt:

Ausgehend von \( 9 y^{2}+31-27 y=(3 y+n)^{2} \) und \( y=\frac{n^{2}-31}{-27-6 n} \) oder \( y=\frac{31-n^{2}}{6 n+27} \) und y \( <3 \) gelange ich für den Fall, daß \( -27-6 n \) oder \( 6 n+27>0 \) zu \( n^{2}+18 n+50>0 \). Dafür kann ich mit einer p/q Formel zwei Werte berechnen. Da ich es jedoch immer etwas verwirrend finde, was man als </> zu setzen hat, schlug ich einen Faktorisierungsweg ein. Der ergibt \( (\mathrm{n}+9)^{2}-31>0 \).
Über \( [(\mathrm{n}+9)+\sqrt{31}][(\mathrm{n}+9)-\sqrt{31}] \) und \( \sqrt{31} \) grob \( =5 \frac{1}{2} \) (etwas genauer ist \( 5 \frac{3}{5} \) ) gelange ich \( \mathrm{zu}(\mathrm{n}+ \left.14 \frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{n}+3 \frac{1}{2}\right) \). Nun soll \( \mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50>0 \), d.h. entweder sind beide Faktoren positiv oder negativ.
D.h. \( \mathrm{n}+14 \frac{1}{2}>0 \) und \( \mathrm{n}>-14 \frac{1}{2} \) sowie \( \mathrm{n}+3 \frac{1}{2}>0 \) und \( \mathrm{n}>-3 \frac{1}{2} \). Für \( \mathrm{n}>-14 \) bzw. \( \mathrm{n}<-4 \) ist jedennoch \( 27+6 n<0 \), wie z.B. bei \( n=-7 \), selbst wenn \( y<3 \) und positiv. Denn \( \frac{31-49}{27-42}=\frac{-18}{-15}=\frac{6}{5}<3 \). Bei \( \mathrm{n}=20 \) oder \( \mathrm{n}=50 \) ist \( \mathrm{y}=-\frac{369}{147}<3 \) bzw. \( \mathrm{y}=-\frac{2469}{327}<3 \). Wohingegen \( \mathrm{n}=-4 \mathrm{y}>3 \) liefert. Nimmt man beide als negativ, also \( n+14 \frac{1}{2}<0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}<0 \), mündet das in \( n<-14 \frac{1}{2} \) und \( n<-3 \frac{1}{2} \). Alsdann ist freilich \( 27+6 \) n auf jeden Fall negativ, wie bei \( \mathrm{n}=-5=\frac{6}{-3}=-2<3 \), während mit \( \mathrm{n}=-15 y=\frac{-194}{-63}=3 \frac{5}{63}>3 \). Muß man folglich für den Fall \( 0<n^{2}+18 n+50 \) festsetzen, daß \( n \geq-3 \), weil auch nur dann \( 0<n^{2}+ 18 n+50 \) ?
\( \begin{array}{l} -14 \frac{1}{2}<\mathrm{n}>-3 \frac{1}{2} \\ -14 \frac{1}{2}>n<-3 \frac{1}{2} \\ \mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50>0 \text { und } n>\frac{-50}{n+18} \end{array} \)

Bei \( 0>\mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50 \) hat man entweder \( n+14 \frac{1}{2}>0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}<0 \) mit \( n>-14 \frac{1}{2} \) bzw. \( n<-3 \frac{1}{2} \) oder \( n+14 \frac{1}{2}<0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}>0 \) mit \( n<-14 \frac{1}{2} \) bzw. \( n>-3 \frac{1}{2} \).
Bei \( -3 \frac{1}{2}>n>-14 \frac{1}{2} \) liegt n also zwischen -14 und -4 , wobei -4 noch zu groß ist. Bei \( -3 \frac{1}{2}<n<-14 \frac{1}{2} \) liegt aber doch ein Widerspruch vor, denn n kann ja nicht zugleich das eine und das andere sein. Fällt das daher nicht automatisch weg?

Eine Variation dieser Frage hatte ich bereits mal gepostet. Mußte zwischendurch Anderes abarbeiten. Jetzt in allgemeiner Form.

Comments

Du solltest erst einmal definieren, was y und n sind. Ist y eine reelle und n eine natürliche Zahl?

Da du mit einer Gleichung startest ist der Wechsel zu einer Ungleichung unnötig und nicht hilfreich. Warum sollte denn y < 3 sein? Ist das irgendwie vorgegeben? Was willst Du denn eigentlich berechnen? Für welche n-Werte y Null wird?

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Y und n liegen in $$\mathbb{Q}$$.

Warum antwortest Du so vorschnell. Mit einem entsprechenden y–Wert soll sich natürlich ein Quadrat ergeben. Und y soll wiederum < 3, weil eine Kubikwurzel in der Form 3 – y zu bestimmen ist. Es geht mir aber nicht um die ganze Aufgabe(Diophant V, 17), sondern nur um die nicht ausgeführte Zwischenrechnung. Und es geht nur um rechnerische Lösungen.

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y ist also eine Funktion von der Variablen n? Und was ist die Frage? Der Graph sieht so aus (in ℝ)

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Deine Frage ist völlig unklar und deine Ausführungen derart unübersichtlich und verwirrend, dass niemand weiß, was du eigentlich willst.

Bei quadratischen Ungleichungen kann man sich sehr schön vorstellen, wie ein zugehöriger Funktionsgraph aussehen könnte. Damit hat man leicht argumentiert, ob die Werte zwischen den Lösungen der Gleichung oberhalb oder unterhalb liegen.

Answer 1

Es wäre günstig die original Fragestellung zu kennen worauf sich deine Rechnungen begründen.

Die scheinbar quadratische Gleichung ist im Grunde eine lineare Gleichung die man nach y auflösen kann.

9·y^2 - 27·y + 31 = (3·y + n)^2
9·y^2 - 27·y + 31 = 9·y^2 + 6·n·y + n^2
6·n·y + 27·y = 31 - n^2
(6·n + 27)·y = 31 - n^2
y = (31 - n^2)/(6·n + 27)

Dabei muss der Nenner dieses Bruches aber nicht notwendigerweise > 0 sein. Der Nenner darf nur nicht 0 sein.

Damit y nun < 3 ist muss gelten

(31 - n^2)/(6·n + 27) < 3 → n ≠ - 9/2

Hier macht man eine Fallunterscheidung

1. Fall: 6·n + 27 > 0 → n > - 4.5
31 - n^2 < 3·(6·n + 27)
31 - n^2 < 18·n + 81
n^2 + 18·n + 50 > 0 --> n < - 9 - √31 ∨ n > - 9 + √31

2. Fall: 6·n + 27 < 0 --> n < - 4.5
31 - n^2 > 3·(6·n + 27)
31 - n^2 > 18·n + 81
n^2 + 18·n + 50 < 0 --> - 9 - √31 < n < - 9 + √31 --> - 9 - √31 < n < - 4.5

Nun führen wir beide Teillösungen zu einer Lösung zusammen.

- 9 - √31 < n < - 4.5 oder n > - 9 + √31

Comments

oder näherungsweise

- 14.568 < n < - 4.5 ∨ n > - 3.432

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Danke für die Antwort. Wie erwähnt, handelt es sich um einen Aufgabenteil aus Diophants Arithmetik, d.h. V, 17. Anbei A. Czwalinas Übertragungstext.

Text erkannt:

\( 2916 x^{2}=225, \text { also } x=\frac{15}{64} \)

So ist die Aufgabe gelost.
16. Es sind drei Zahlen von der Art zu finden, daß der Kubus der Summe der drei Zahlen, vermindert um eine jede einzelne der Zahlen, einen Kubus ergibt.

Es werde wiederum die Summe der drei Zahlen gleich \( x \) gesetzt, und die Zahlen selbst seien \( 7 x^{3}, 26 x^{3}, 63 x^{3} \).

Es bleibt die Forderung zu erfüllen, daß die Summe der drei Zahlen gleich \( x \) gesetzt wird. Dann ergibt sich eine Gleichung von der Art \( p x^{3}=x \) oder \( p x^{2}=1 \), wo \( p \) eine gewisse Zahl ist.

Es wird dann also notwendig sein, daß diese Zahl \( p \) ein Quadrat ist. Woher stammt diese Zahl \( p \) ? Sie ist der Überschuß der Zahl 3 gegenüber der Summe dreier Kuben, deren jeder kleiner ist als 1.
17. Es sind drei Zahlen von der Art zu finden, daß der Kubus der Summe der drei Zahlen, von jeder einzelnen der drei Zahlen subtrahiert, einen Kubus ergibt.

Es werde wiederum die Summe der drei Zahlen gleich \( x \) gesetzt, und die drei Zahlen seien \( 2 x^{3}, 9 x^{3}, 28 x^{3} \).

Man hätte nun die Summe der drei Zahlen gleich \( x \) zu setzen. Diese Summe aber ist \( 39 x^{3} \). Es ergibt sich also \( 39 x^{3}=x \) oder \( 39 x^{2}=1 \). Wenn nun 39 ein Quadrat wird, so wäre die Aufgabe gelost. 39 ist die um 3 vermehrte Summe von drei Kuben. Man muß also drei Kuben finden, deren um 3 vermehrte Summe ein Quadrat ist. Es werde die Wurzel des ersten Kubus gleich \( y \), die des zweiten Kubus \( 3-y \), die des dritten Kubus gleich einer beliebigen Zahl, zum Beispiel gleich 1 gesetzt. Dann wird die Summe der drei Kuben \( 9 y^{2}+28 -27 y \). Wenn 3 addiert wird, ergibt sich \( 9 y^{2}-27 y+31 \). Dieser

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Ausdruck sei das Quadrat von ( \( 3 y-7 \) ). Dann wird \( y=\frac{6}{5} \). Dann wird die Wurzel des ersten Kubus \( \frac{6}{5} \), die des zweiten Kubus 9, die des dritten Kubus gleich 1 sein.

Zum Kubus einer jeden dieser Zahlen addiere ich 1 und kehre zur ursprünglichen Aufgabe zurück. Ich setze also die gesuchten Zahlen gleich \( p x^{3} \), wobei die Größen \( p \) die gefundenen Zahlen sind. Die Summe der drei Zahlen aber setze ich gleich \( x \). Die Summe der drei Zahlen ist aber \( \frac{289}{25} x^{3} \). Es ergibt sich \( x=\frac{5}{17} \). So ist die Aufgabe gelöst.
ein Quadrat gibt. Es wird also nötig sein, 22 in drei Quadrate zu zerlegen, deren jedes größer ist als 6 ; und, wenn wir von 8 eine jede der drei Zahlen abziehen, so werden wir die gesuchten drei Zahlen erhalten. Das aber haben wir vorher gezeigt, wie 22 in drei Quadrate zerlegt weden kann, deren jedes größer ist als 6.
20. Ein gegebener Bruch ist in drei Summanden zu zerlegen, so daß jeder Summand, vermindert um den Kubus der Summe, ein Quadrat gibt.