Matrizen und stochastische Prozesse

Question

Aufgabe:

Beispiel
Ein Käfer krabbelt von Position (1) mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 nach Position (2), mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 hingegen zur Position (3). Von (2) oder (3) nach (1) zurück zieht es ihn mit der Wahrscheinlichkeit 0,25. Von (2) nach (3) krabbelt er mit der Wahrscheinlichkeit von 0,625 , zurück hingegen nur mit der. Wahrscheinlichkeit 0,5. Von (2) nach (4) begibt er sich mit Wahrscheinlichkeit 0,125 , von (3) nach (5) mit der Wahrscheinlichkeit 0,25. In (4) bzw. (5) warten zwei hungrige Vögel auf ihn, so dass er, dort angekommen, sofort gefressen wird.
(1) Stellen Sie für das Beispiel einen Übergangsgraphen und eine Übergangsmatrix auf und erläutern Sie an diesem Beispiel die Begriffe stochastische Matrix, stochastischer Vektor und Markov-Prozess.

Problem/Ansatz:

\( M=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0,25 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0 & 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,625 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0,125 & 0,25 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Hallo ist die übergangsmatrix richtig? Glaube schon aber bin mir nicht ganz sicher

Answer 1

In Spalte zwei sind die beiden unteren Einträge um eine Zeile verrutscht.

In Spalte drei muss der zweite Eintrag \(0,5\) sein und nicht der erste, denn

Von (2) nach (3) krabbelt er mit der Wahrscheinlichkeit von 0,625 , zurück hingegen nur mit der. Wahrscheinlichkeit 0,5.

bezieht sich meiner Meinung nach auf "zurück von (3) nach (2)" und nicht zurück nach (1).

Außerdem

Von (2) oder (3) nach (1) zurück zieht es ihn mit der Wahrscheinlichkeit 0,25.

Answer 2

Ich hätte die Übergansmatrix wie folgt aufgestellt:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 0,25 & 0,25 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0,625 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,125 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,25 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$