Matrizen und stochastische Prozesse

Question

Aufgabe:

Beispiel
Ein Käfer krabbelt von Position (1) mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 nach Position (2), mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 hingegen zur Position (3). Von (2) oder (3) nach (1) zurück zieht es ihn mit der Wahrscheinlichkeit 0,25. Von (2) nach (3) krabbelt er mit der Wahrscheinlichkeit von 0,625 , zurück hingegen nur mit der. Wahrscheinlichkeit 0,5. Von (2) nach (4) begibt er sich mit Wahrscheinlichkeit 0,125 , von (3) nach (5) mit der Wahrscheinlichkeit 0,25. In (4) bzw. (5) warten zwei hungrige Vögel auf ihn, so dass er, dort angekommen, sofort gefressen wird.
(1) Stellen Sie für das Beispiel einen Übergangsgraphen und eine Übergangsmatrix auf und erläutern Sie an diesem Beispiel die Begriffe stochastische Matrix, stochastischer Vektor und Markov-Prozess.

Problem/Ansatz:

\( M=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0,25 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0 & 0,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,625 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0,125 & 0,25 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Hallo ist die übergangsmatrix richtig? Glaube schon aber bin mir nicht ganz sicher

Answer 1

In Spalte zwei sind die beiden unteren Einträge um eine Zeile verrutscht.

In Spalte drei muss der zweite Eintrag \(0,5\) sein und nicht der erste, denn

Von (2) nach (3) krabbelt er mit der Wahrscheinlichkeit von 0,625 , zurück hingegen nur mit der. Wahrscheinlichkeit 0,5.

bezieht sich meiner Meinung nach auf "zurück von (3) nach (2)" und nicht zurück nach (1).

Außerdem

Von (2) oder (3) nach (1) zurück zieht es ihn mit der Wahrscheinlichkeit 0,25.

Comments

Dankeschön, ich hätte noch eine kleine Frage bezüglich des stationären Vektors

Answer 2

Ich hätte die Übergansmatrix wie folgt aufgestellt:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 0,25 & 0,25 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,8 & 0,625 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,125 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,25 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Comments

Hallo ich brauche nochmal Hilfe

Ich soll den stationären Vektor berechnen und ich habe das so gemacht:

Ist das so richtig? Und gibt es evt auch einen anderen Weg wie man es lösen könnte?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} x_{1}=0,2 x_{2}+0,8 x_{3} \\ x_{2}=0,25 x_{1}+0,625 x_{3}+0,125 \\ x_{3}=0,25 x_{1}+0,5 x_{2} \\ x_{1}=0,2 x_{2}+0,8\left(0,25 x_{1}+0,5 x_{2}\right) \\ =0,2 x_{2}+0,2 x_{1}+0,4 x_{2} \\ =0,2 x_{1}+0,6 x_{2} \\ \frac{4}{3} x_{1}=x_{2} \\ x_{3}=0,25 x_{1}+0,5\left(\frac{4}{7} x_{1}\right) \\ x_{3}=0,25 x_{1}+\frac{2}{3} x_{1} \\ x_{3}=\frac{11}{12} x_{1} \end{array} \)
in aleichung \( x_{2} \) einsetion
\( \begin{array}{l} x_{1}=\frac{12}{49} \\ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{12}{49} \\ \frac{37}{49} \end{array}\right) \Rightarrow \text { Stationare Veliter } \end{array} \)

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Wo sind denn \(x_4\) und \(x_5\)? Die Rechnung ist so noch unvollständig, aber die Idee stimmt. In der zweiten Gleichung fehlt außerdem noch was.

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Ich dachte es wäre nicht relevant :/

Was fehlt denn bei der 2 Gleichung?

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Da fehlt ganz hinten eine Variable.

Wieso sollten die letzten beiden Variablen nicht relevant sein?

Außerdem ist fraglich, weshalb du \(x_1=\frac{12}{49}\) rausbekommst, aber im Vektor dann \(x_1=0\) steht.

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Moment, ich rechne das mal einmal komplett ordentlich durch.

Aber die Spalten gleich setzen ist richtig oder statt die Zeilen?

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Du möchtest \(Mv_{\text{stat}}=v_{\text{stat}}\) lösen. Das ist ja nichts anderes als ein LGS.

Das Problem, was hier auftritt ist, dass die stationäre Verteilung nicht eindeutig ist. Jeder Vektor mit \(x_1=x_2=x_3=0\) und \(x_4=p\) und \(x_5=1-p\) ist eine solche stationäre Verteilung.

Ausgehend von einem Startvektor \(v_0\) bekommt man dann einen konkreten Vektor heraus und man bekommt die Wahrscheinlichkeiten, mit der der Käfer in Zustand 4 bzw. 5 landet.

Eine alternative Berechnung geht über den Grenzwert \(v_{\text{stat}}=\lim\limits_{n\to\infty}M^nv_0\).

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Ich verstehe gar nichts mehr, mein Kopf ist voll :(

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Was genau ist unklar? Und wie bist du eigentlich auf deine Rechnung gekommen?

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So habe mich nochmal hingesetzt habe jetzt so gerechnet:

Aber welche Werte nehmen d und e an?

Text erkannt:

21:07 Dienstag 9. Juni
8 4 \%
06.06.2026
× 08,06,2026
08.06 .2026
Unbenanntes Notizbuch
\( \begin{array}{l} \mu \cdot \vec{v} \cdot \vec{v} \\ M-\left(\begin{array}{ccccc} a & 0,25 & a, 25 & 0 & a \\ 0,2 & 0 & 0,3 & 0 & 0 \\ 0,405 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,25 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,25 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ b \\ e \\ e \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ d \\ d \end{array}\right) \\ \text { I. } 0 \cdot a+0,25 b+0,25 c+0 d+0 c=a \\ \text { II. } 0,2 a+0 b+0,5 c+0 d+0 c=b \\ \text { II. } 0,8 c+0,25 b+0 c+0 d+0 c=c \\ \text { II. } 0 a+0,125 b+0 c+1 d+0 c=d \\ v \cdot 0 a+0 b+0,25 c+0 d+1 c=c \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \Rightarrow 0,25 b+0,25 c=a \quad 1-a \\ \Rightarrow 0,2 a+0,5 c=b \quad 1-b \\ \Rightarrow 0,8 a+0,625 b=c \quad 1-c \\ \Rightarrow 0,125 b+d=d \quad 1-d \\ \Rightarrow 0,25 c+e=c \quad 1-c \\ -a+0,25 b+0,25 c=0 \\ 0,2 a-b+0,5 c-0 \\ 0,8 a+0,625 b-c=0 \\ 0,125 b=0 \\ 0,25 c=0 \\ 0,125 b=0 \quad 1: 0,125 \\ b=0 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 0,25 c=0 \mid: 0,25 \\ c=0 \\ 0,8 a+0,625 \cdot(0)-0=0 \\ 0,8 a=0 \quad \mid: 0,8 \\ a=0 \end{array} \)