Endomorphismus gegeben, zeigen, dass φ°...°φ=0

Question

Wir haben erst in der letzten Vorlesung mit Basen angefangen und ich sehe da noch nicht ganz durch. Mir macht die Aufgabe Probleme:

Es sei n≥1 und φ ein Endomorphismus des ℝⁿ mit

$$\varphi \left( e _ { i } \right) = \sum _ { j = i + 1 } ^ { n } \alpha _ { j i } e _ { j } \text { für } 1 \leq i \leq n$$

und geeignete α_ji∈ℝ, wenn (e₁,...,e_n) die Standardbasis des ℝⁿ bezeichnet. (Die Summe über die leere Indexmenge wird als der Nullvektor gedeutet.) Zeigen Sie

$$\varphi \circ \ldots \circ \varphi = 0$$

(φ°...°φ n-mal)

Wir haben Standardbasis noch nicht definiert und die Definitionen aus dem Internet helfen mir irgendwie auch nicht.

Comments

@Standardbasis: vgl.

https://www.mathelounge.de/10864/was-ist-eine-standardbasis

Answer 1

Ich rechne dir hier ein Beispiel für n=2 vor. (Vektorklammern kannst du bestimmt symmetrisch schliessen; da fehlt nichts!)

$$Beispiel n=2: A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\\ i=1: \varphi \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 3*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\\ i=2: \varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \text{ Summe von 3 bis 2: leere Indexmenge.}\\ Also ;\ \varphi \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\\$$

Nach einem Schritt ist der resultierende Raum auf die y-Achse reduziert. Im zweiten Schritt verschwindet die y- Dimension.

qed für n=2 

Wenn du nun statt 1234 a₁₁ … einsetzt, ist die Verankerung für n=2. Also φ² = 0 gelungen.

Zum Induktionsschritt n --> n+1

Du kannst voraussetzen, dass nach n Schritten die ersten n Basisvektoren schon auf den Nullvektor abgebildet werden. Im n+1-ten Schritt wird dann auch der letzte Basisvektor zum Nullvektor.

Da ein Endomorphismus strukturerhaltend ist, werden auch alle andern Vektoren auf den Nullvektor abgebildet, da sie sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben lassen.

Ich hoffe, du kommst weiter.