Vektoren bestimmen, um die Dimension zu berechnen.

Question

Aufgabe:

(c) Sei \( \sigma: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5} \) derjenige Endomorphismus, der die Standardbasisvektoren \( e_{1}, \ldots, e_{5} \) wie folgt abbildet: \( e_{i} \sigma=e_{i+1} \) für \( 1 \leq i \leq 4 \), und \( e_{5} \sigma=e_{1} \). Finden Sie zu möglichst vielen \( d \in\{0,1, \ldots, 5\} \) einen geeigneten Vektor \( v \in \mathbb{R}^{5} \) mit \( \operatorname{dim}\left\langle v, v \sigma, v \sigma^{2}, v \sigma^{3}, v \sigma^{4}\right\rangle=d \).

Hallo, kann mir jemand helfen, die Vektoren v, vσ, vσ^2, vσ^3, vσ^4 zu finden? Wie ich die dim. am Ende davon bestimme ist mir klar. Hab bloß nicht so ganz verstanden, wie die Vektoren genau aussehen sollen. Danke für die Hilfe.

Answer 1

Sei \(\langle v,v\sigma,\dots,v\sigma^4\rangle\) mit \(S(v)\) bezeichnet.

\(d=0\) :

Hier kann (und muss) man offenbar \(v=0\) nehmen:

\(\dim(S(0))=\dim(\{0\})=0\).

\(d=5\) :

Hier kann man z.B. \(v=e_1\) nehmen:

\(\dim(S(e_1))=\dim(\langle e_1,e_2,\dots,e_5\rangle)=5\).

\(d=1\) :

Probier mal \(v=e_1+e_2+e_3+e_4+e_5\) !

Nun experimentiere du weiter. Es könnte ja sein, dass nur

für \(d=0\) und die beiden Teiler von 5 solche \(v\)

existieren ...

Comments

Danke für deine ausführliche Hilfe. Ich hätte da noch eine Frage zu d = 1. wenn v = e_1+e_2+e_3+e_4+e_5, was wäre dann vσ^3?

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Das wäre

\((e_1+e_2+e_3+e_4+e_5)\sigma^3=e_1\sigma^3+\dots+e_5\sigma^3=\)

\(=e_4+e_5+e_1+e_2+e_3=v\).

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Und e_1, … , e_5 sind immer die Standardbasisvektoren? z.B.

e_3 :

0

0

1

0

0

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Ja.\(\;\;\;\;\;\;\)

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Super, danke! Hast mir sehr geholfen.