Mat(n×n, i) ist ein zweiseitiges Ideal des Ringes (Ring mit Einselement)

Question

Sei $R$ ein Ring mit Einselement und sei $I \subset R$ ein zweiseitiges Ideal. Ferner sei $n \in \mathbb{N}$. Zeigen Sie:

(a) $\operatorname{Mat}(n \times n, I)$ ist ein zweiseitiges Ideal des Ringes $\operatorname{Mat}(n \times n, R)$.

(b) Jedes zweiseitige Ideal von $\operatorname{Mat}(n \times n, R)$ ist von der Form $\operatorname{Mat}(n \times n, I)$ mit einem zweiseitigen Ideal $I$ von $R$.

Answer 1

Die a) ist reines Nachrechnen der Definition, da passiert nichts spannendes. Zu einem Ideal J des Matrzenrings definieren wir das Ideal I in R wie folgt: I wird erzeugt von allen Einträgen der Matrizen aus J. (das ist das gesuchte Ideal). Sei E_ij die Elementarmatrix die nur an der Stelle (i,j) den Eintrag 1 hat, ansonsten 0 Wir nutzen folgende Eigenschaft von Elementarmatrizen:$$E_{ij}AE_{k}l=a_{jk}E_{il}$$: Es ist $$E_{ij}J E_{kl} \subseteq J$$ (zwei-seitiges Ideal) und $$I E_{il} \subseteq J$$. Es gilt damit $$Mat(n\times n, I)=\sum_{i,l} IE_{il} \subseteq J \subseteq Mat(n \times n,I)$$.