Umfang des Rechtecks soll möglichst gross sein. Extremwertaufgabe

Question

Aufgabe 3:

Aus einem Reststück Holz soll ein Rechteck gesägt werden. Dabei liegen zwei Seiten des Rechtecks auf den Koordinatenachsen und ein Eckpunkt auf der Parabel mit der Gleichungy $=-0,25 x^{2}+4$

a) Gib einen sinnvollen Definitionsbereich an. Begründe kurz.

b) Für welches u ergibt sich ein Rechteck mit möglichst großem Umfang? Wie groß ist dieser Umfang?

Wie berechne ich den maximalen Umfang? Wie ist der Ansatz?

Answer 1

f(x) = - 1/4·x^2 + 4

a) D = [0; 4] Begründen solltest du alleine

b)
U(u) = 2·u + 2·f(u) = 2·u + 2·(- 1/4·u^2 + 4) = - 0.5·u^2 + 2·u + 8

U'(u) = 2 - u = 0
u = 2

Für u = 2 ergibt sich der größtmögliche Umfang. Wie groß dieser ist solltest du auch selber berechnen. Und eventuell auch zeigen das dies ein Maximum ist.

Comments

Danke fùr die Antwort. In der Zeichnung sieht man ja dass u die senkrechte linie ist. In ihrer Rechnung haben Sie aber u als x Achse genommen oder?

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Die senkrechte Linie soll vermutlich bei x = u sein. Anders macht das auch wenig Sinn.

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x=u waagerechte X-Achse
U=2u+2(-0,2u²+4)
U=2u-0,4u²+8
u'=2-0,4u
-0,8u=-2
u=2,5
u''=-0,8 da negativ Maximum
U=2x2,5+2(-0,4x2,5²+4)=10,5
Zusätzliche Probe
Annahme u=2,4   U=2x2,4-0,4x2,4²+8=10,496
                   u=2,6   U=2x2,6-0,4x2,6²+8=10,496
also beide Werte kleiner als 10,5!