Verifizieren Sie, dass die angegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie folgende Differentialgleichung:

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x=-2 x+\mathrm{e}^{-2 t} . \)

Für die Anfangsbedingung \( x(0)=0 \) besitzt sie die Lösung

\( x(t)=t \mathrm{e}^{-2 t} \text {. } \)

(a) Verifizieren Sie, dass die angegebene Lösung die Differentialgleichung erfüllt, indem Sie \( x(t) \) ableiten und so umformen, dass Sie DGL (1) erhalten.

(b) Wie verhält sich die Lösung für lange Zeiten? Betrachten Sie dazu den Grenzwert \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} x(t) \).


Ansatz:

zu a)
x(t)=t*e^{-2t}
x'(t)=1*-2t*e^{-2t}
x'(t)=-2t*e^{-2t}

Wenn man für t x einsetzt kommt DGL (1) raus, oder?

zu b)
Ich habe die Funktion bei Geogebra eingegeben und die Funktion ist streng monoton fallend gegen -∞, also

lim[t→∞]x(t)=-∞

Sind die Lösungsansätze richtig?

Answer 1

Hi,

 

Du hast die Produktregel bei a) nicht berücksichtig!

 

x(t) = t*e^{-2t}

x'(t) = e^{-2t} + t*e^{-2t}*(-2) = e^{-2t}-2te^{-2t}

Das Orangene entspricht ja gerade x(t), also:

x'(t) = e^{-2t}-2x

Das ist genau was verlangt war.

 

Du sollst Dir die Lösung für t->∞ anschauen. Also:

x(t) = t*e^{-2t}

Das geht dann gegen 0, da die e-Funktion im Nenner steckt.

 

Grüße

Comments

Stimmt, die Produktregel muss angewendet werden und e hoch -unendlich strebt gegen 0. Alles klar!