Schnittgerade zweier Ebenen: Ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Variabeln lösen?

Question

Wenn ich die Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln will, muss ich ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Variabeln lösen,
ich weiß nicht wieso, aber das will nicht in mein Kopf gehen

Jetzt die Frage, kann ich eine der beiden Gleichungen auch umformen, zb. ich habe 2 Koordinatenform-Ebenen, kann ich eine der beiden Ebenen in die Parameterform umformen und x1,x2,x3 in die Koordinatenebene einsetzen um so den Schnittpunkt zu ermitteln?

Answer 1

 ich habe 2 Koordinatenform-Ebenen, kann ich eine der beiden Ebenen in die Parameterform umformen und x1,x2,x3 in die Koordinatenebene einsetzen um so den Schnittpunkt zu ermitteln?

Kannst du schon. Du hast dann aber immer noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten: Den Parametern r und s.

Wenn ich die Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln will, muss ich ein LGS mit 2 Gleichungen und 3 Variabeln lösen,

Dir genügen für die Geradengleichung 2 Punkte auf der gesuchten Geraden. Da die Schnittgerade (ausgenommen Spezialfälle) die verschiedenen Koordinatenebenen schneidet, kannst du ihre Schnittpunkte mit diesen Ebenen berechnen:

xy-Ebene: z=0 setzen, x und y bestimmen.

Analog yz-Ebene und xz-Ebene.

Comments

@Lu: Es ging wohl um die verbleibende Koordinatenformebene!

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Nein: Koordinatenebenen: xy-Ebene, yz-Ebene, xz-Ebene.
Die Umwandlung in Parameterform kannst du dir sparen.

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Wie: "Nein:..."?

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Koordinatenebenen haben die Gleichungen: z=0, x= 0 und y = 0.

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Und woran sehe ich, was ich Nullsetzen muss/sollte?

Kannst du mir das bitte an folgendem Beispiel erklären?

E: 3x-y+2z=7
H: x+2y+3z=14

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Schau vielleicht mal hier: https://www.mathelounge.de/51058/schnittgerade-zweier-ebenen-bestimmen-formel-oder-vorgehen

E: 3x-y+2z=7
H: x+2y+3z=14

1. Punkt: x=0

-y+2z=7
2y+3z=14

-2y+4z=14
2y+3z=14
--------------- +
       7z = 28 -----> z=4

-y + 16 = 14 → y = 2

P1(0,2,4)

2. Punkt: y = 0

3x+2z=7
 x+3z=14

3x+2z=7
3x+9z=42
--------------        -
    7z = 35 -----> z= 5
x+15 = 14 -----> x = -1

P2(-1 , 0, 5)

g: r = (0,2,4) + t (-1, -2, 1)

Du kannst wählen, welche zwei Punkte auf g du berechnest. 'Die' Parametergleichung der Gerade ist ja nicht eindeutig.

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Ahh, dann erstelle ich mit den beiden Punkten, die ich errechne eine neue Gerade, welche mein Schnittpunkt darstellt?

Super, danke:)

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Ja genau (beinahe): 

Ahh, dann erstelle ich mit den beiden Punkten, die ich errechne eine neue Gerade, welche meine Schnittgerade darstellt?