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Sei f : R → R stetig mit 

lim          f(x) = 0. 

x→±∞ 

Zeigen Sie: Dann ist f gleichmäßig stetig.

Wie soll hier vorgehen?komme nicht weiter 

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2 Antworten

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Hallo,

aus der Stetigkeit von f und der Bedingung lim f(x) = 0 für x → ±∞ folgt f ist beschränkt. Somit ist für alle δ > 0 die Menge max( |f(x) - f(y)| mit  |x - y| < δ ) für alle x, y ∈ ℝ beschränkt durch eine Zahl M = M(δ), die monoton fallend in δ ist. Somit findet man für ε > 0 ein δ durch 0 < M(δ) < ε.

MfG

Mister
Beantwortet von 7,3 k
Und wieso kann man zu jedem ε>0 ein δ>0 finden, so dass M(δ)<ε?
Na weil M(δ) → 0 für δ → 0.
Genau das ist ja noch zu zeigen.
f ist doch stetig und beschränkt.
Ja und? Nicht jede stetige beschränkte Funktion auf $$\mathbb R$$ ist gleichmäßig stetig.
Die Existenz des Grenzwertes impliziert die Stetigkeit auf ganz ℝ.
Ich kann mich nur wiederholen: Ja und? Nur weil eine Funktion auf ganz \(\mathbb R\) stetig und beschränkt ist, muss sie noch nicht gleichmäßig stetig sein. Ein Gegenbeispiel ist \(\sin(x^2)\).

Und dass \(f\) auf ganz \(\mathbb R\) stetig ist, wurde ohnehin schon vorausgesetzt.$$$$
Für sin(x^2) existiert aber kein Grenzwert.
Klar, aber die Existenz dieses Grenzwertes hast du bisher nur dazu benutzt, um Beschränktheit bzw. Stetigkeit zu fordern.

Wie gesagt: Du hast nicht gezeigt, dass \(M(\delta)\to0\) für \(\delta\to0\).
Besser. Das müsste man hier zeigen.
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Meine Idee. Bilde die Situation ab mittels ===> stereografischer Projektion auf die ===> Zahlenkugel. Dann folgt


f ( Nordpol ) = 0


und da die Kugel kompakz ist, ist eine stetige Funktion immer auch gleichmäßig stetig.

Beantwortet von 1,3 k
Etwas komplizierter läuft es mit Hilfe der Theorie von ===> Edward Nelson ab ( NSA ; IST )

( NSA = Non Standard Analysis; IST sind seine drei Axiome. )

Ich bin absoluter Fan dieser Theorie; ein ausgezeichnetes Lehrbuch ist Alain Robert bei Wiley.

Gerade hier werde ich keine Einführung geben, weil wir das volle Transferaxiom von Nelson benötigen. Ihr müsst euch da schon selber mit beschäftigen.

Nur eine Konvention, um Missverständnissen vorzubeugen. Großbuchstaben bleiben für Standardobjekte reserviert und griechische für inf(initesimale) Größen.

Was ist zu zeigen? Nelson geht immer aus von dem Standardfall:

Definition 1

Eine Funktion y = f ( x ) heiße inf stetig in x0 , wenn

f ( x0 + € ) = f ( x0 ) + µ    ( 1 )

Eine inf Änderung in x hat eine höchstens inf Änderung in y zur Folge.

Satz 1

Eine Funktion y = F ( x ) ist gleichmäßig stetig auf ihrem Definitionsbereich D <===>

(V) x € D |  F inf stetig    ( 2 )

Erläuterung. Im Gegensatz zu einfacher Stetigkeit ist ja gleichmäßige Stetigkeit keine Punkt weise Eigenschaft. Aber hier wirkt es quasi so; hier ist sie äquivalent zu einer Punkt weisen Eigenschaft, bzw. um sie zu widerlegen, reicht es aus, inf Stetigkeit in einem Punkt zu widerlegen.

Lemma 1

 

          lim    x  ===>  (  +°° )    F  ( x )  = 0      ( 3a )  

 

       genau dann, wenn

x > 0  ;  x  unbegrenzt  ===>     F  ( x )  =:  µ   = inf     ( 3b )

Aus der Bedingung ( 3a ) folgt somit ein " Regime "  , auf dem F inf stetig ist: nämlich alle unbegrenzten Zahlen.  Im  Kern ist ja ( 3a )   nichts weiter als die Forderung nach Stetigkeit in dem uneigentlichen Punkt (  +°° )   In einem anderen Zusammenhang schrieb Alain Robert

" You can prove it as you always wanted to. "

In der Nelsontheorie bilden die unbegrenzten Elememte so etwas wie die " offenen Umgebungen des unendlich fernen Punktes " ; eine Idee , um deren korrekte Axiomatisierung sich die Schwarzweißanalysis vergebens bemühte.

Das Gute an der NSA ist immer: Du musst ganz klar sagen, was du eigentlich meinst. Was heißt das; f ( x )  geht gegen Null im Unendlichen? Das geht nämlich jetzt nicht so einfach mit Epsilon-Umgebungen. Etwa so:

(V)   e > 0    (E)   x0 = x0  ( e )   x > x0   ===>    |  f ( x )  |  <  e     ( 4a )

Hier ist alles erst mal " klein geschrieben " ; Nelson ist ganz typisch case sensitive; die  " Schwarzweißanalysis " ist es nicht. Ich gehe hier analog vor wie mein Vorbild Nelson.  Versuch doch mal, den Bedeutungsunterschied zwischen ( 4a ) und ( 4b ) rein von der Groß-Kleinschreibung her zu erfassen:

(V)   E > 0    (E)   X0 = X0  ( E )   x > X0   ===>    |  f ( x )  |  <  e     ( 4b )

( 4a ) ist die klassische ( dynamische )   e_x0-Wette. Du suchst mich in die Enge zu trteiben, indem du e immer weiter nach Unten drückst; und jedesmal überbiete ich dich mit einem geeigneten x0 .

Dagegen ist die Auffassung hinter ( 4b )  statisch, so wie sich das Euler und Leibniz schon immer wünschten.

Zwei Dinge in eigener Sache; Warnmeldung an den Support. Er hatte schon wieder lauter Binärcode generiert und behauptet, max 8 000 Zeichen. Ist DAS jetzt Nonstandard? ( Alain Robert kennt die Karikatur:

    " I have to admit there are Non-Standard black holes. "

        Zweitens eine Korrektur; ( 1.4b ) lies



         (V)   E > 0    (E)   X0 = X0  ( E )   x > X0   ===>    |  f ( x )  |  <  E     ( 1.4b )



     Und nun zu der statischen  Auffassung, von der ich sprach. Wenn x unbegrenzt groß ist, also größer als alle X0 , dann passt f ( x ) in jedes noch so kleine vor gegebene E-Intervall. Eine Zahl, die kleiner ist als alle E , ist inf - damit ist  Lemma 1 ( 1.3b ) bewiesen. Ganz analog geht Nelson selber vor beim Beweis von  Satz 1 ( 1.2 )
       Einen kleinen Schönheitsfehler hat die Chose allerdings noch; i.A.  ist ( 1.4b ) nicht korrekt. Hinter dem Existenzquantor hast du einen Transferschluss; den Schluss von "  Allgemein klein x " auf " Speziell groß X " Von dem " Existenzquantor aus gesehen " , stehen wir aber " unter dem Allquantor " -  E und f sind zusätzliche freie Parameter ( ZFP )   - x ist es nicht;  x ist ein gebundener " Schleifenparameter " , der nur lokal in einer Konklusion definiert ist und den der Existenzquantor " übergeordnet gsr  nicht kennt " - die C-Programmierer werden wissen, was ich meine.
     Und das Transferaxiom verlangt eben als ( hinreichende, aber durchaus nicht notwendige ) Bedingung, dass alle ZFP Standard sein müssen. Beweise kannst du aber nur mit hinreichenden Kriterien führen. Das ist der Grund, warum wir uns hier auf den Fall " groß F " beschränken, der ja im Übrigen auch kompatibel ist mit oben Satz 1 . Jetzt ( 1.4b ) korrekt




         (V)   E > 0    (E)   X0 = X0  ( E )   x > X0   ===>    |  F ( x )  |  <  E     ( 1.4c )




      Hier kennst du das nicht auch, dass die Kandidaten im mündlichen Vordiplom als die Rolle von Epsilon und Delta vertauschen? Bei Nelson ist das sogar korrekt; was bedeutet denn ( 1.4c ) im Klartext?



        (E)   x1   (V)   E   (V)  F    x > x1   ===>    |  F ( x )  |  <  E     (   2.1a   )



       (  Hier bedeutet x1 irgendein unbegrenztes x.  )  Aber wer hindert mich jetzt eigentlich an dem  Transferschluss




        (E)   x1   (V)   E   (V)  f    x > x1   ===>    |  f ( x )  |  <  E     (   2.1b   )



       ( 2.1b )  ist offensichtlich unwahr;  eine Funktionenschar, die Grenzwertbedingung ( 1.3a )  befriedigt, besitzt darum noch in keinem endlichen x eine obere Schranke. Das wär ja schööön ...  Diese geistige Fehlzündung, den " falschen Transfer " , führen Nelson / Robert an Zahl reichen abschreckenden Beispielen immer wieder vor Augen. Was in ( 2.1b ) schief geht: Du musst das " klein Gedruckte " beachten - im wahrsten Sinne des Wortes. x1 ist zwar ein ZFP , sein Wert ist aber Nonstandard ( wir hatten ja gesagt: Größer als Standard. )
    Jetzt hatten wir die Bedingung " stetig " überhaujpt noch nicht benutzt. Vergleiche mal Satz 2 mit Satz 1


      Satz 2


  Eine Funktion y = F ( x ) ist stetig in X0  <===> Sie ist inf stetig in X0      ( 2.2 )




    Der Rest ist trivial;  fleißige Leser von alain Robert wissen das. Welche Lücken tun sich jetzt noch auf der reellen  Achse auf? Sämtliche ( begrenzten ) Zahlen, die Nonstandard sind. Es ist uns quasi gelungen, die reellen Zahlen in drei " Reiche " zu unterteilen.
    Aber nach der Aussage des Schattensatzes sind alle begrenzten Zahlen schon fast Standard; wir führen das Symbol ein



         x1  ( = )  x2  <===>   x1 - x2 = €  =  inf      ( 2.3a )


       Nun ist aber gemäß dem Schattensatz


       x1  ( = )  x1*     ( 2.3b )


         Das Symbol  " ( = )  "   ist transitiv;   ( 2.3ab )  lassen sich zusammen fassen zu


       x1*  ( = )   x2*     (   2.3c  )


     D.h. Fall    ( 2.3a )  ist auf  Satz  2 zurück geführt.

     Wir verspürten den starken Zwang, alles zu zeigen für Standard F  .  Natürlich   streben wir den allgemeinen Fall "  klein f "  an. Nesonbeweise schließen nicht mit  " wzbw "  , sondern ganz typisch mit  " Rest durch Transfer "   Dieser Transfer geht so:


     (V)  F  |    Was laut Aufgabenzettel zu zeigen war ===>  (V)  f   |  Was laut Zettel ...

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