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Es sei G := {fa,b : ℝ → ℝ, x ↦ ax + b | a, b ∈ ℝ, a ≠ 0}. Zeige, dass G bezüglich der Komposition von Abbildungen eine nicht-abelsche Gruppe ist

von

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Zeige: ( G , o ) ist eine nicht-abelsche Gruppe

 

1) Abgeschlossenheit

Zu zeigen: f , g ∈ G f o g ∈ G

 

f o g = ( a x + b ) o ( c x + d ) = a ( c x + d ) + b = a c x + a d + b = ( a c ) x + ( a d + b )

Wegen a ≠ 0 und  c ≠ 0 (Definition von G) ist auch a c ≠ 0

=> f o g = ( a c ) x + ( a d + b ) ∈ G

 

2) Assoziativität:

Zu zeigen: ( f o f ) o f  = f o ( f o f )

 

( f o f ) o f 

= ( f o ( a x + b ) ) o f

= ( a ( a x + b ) + b ) o f

= ( a 2 x + a b + b ) o f 

= a 2  ( a  x  + b ) + a b + b

= a 3 x + a 2 b + a b + b

= a ( a 2 x + a b + b ) + b

= f o ( a 2 x + a b + b )

= f o ( a ( a x + b) + b)

= f o ( f o ( a x + b ) )

= f o ( f o f )

 

3)  Neutrales Element:

Zu zeigen: ∃ e = ( c x + d ) ∈ G f o e = e o f = f

f o e = f

<=> ( a x + b ) o e =  a x + b

<=> a ( c x + d ) + b = a x + b

<=>  a c x + a d + b = a  x + b

<=> a c x = a x und a d + b = b

<=> c =1 und a d = 0

wegen a ≠ 0 (Definition von G):

<=> c =1 und d = 0

<=> e = c x + d = 1 x + 0

 

e o f

= 1 ( a x + b ) + 0

= a x + b + 0

= a x + b

= f

 

4) Inverses Element:

Zu zeigen: ∀f ∈ Gf -1= ( c x + d ) ∈ G f o f -1 = e

f o f -1 = e = f -1 o f

<=> ( a x + b ) o ( c x + d ) = 1 x + 0

<=> a ( c x + d ) + b = 1 x + 0 

<=> a c x + a d + b  = 1 x + 0

<=> a c = 1 und a d + b = 0

<=> c = 1 / a und d = - b / a

<=> f -1 = ( 1 / a ) x - ( b / a )

 

f -1 o f

=  ( ( 1 / a ) x - ( b / a ) ) o ( a x + b )

= ( 1 / a ) ( a x + b ) - ( b / a )

= x + ( b / a ) - ( b / a )

= 1 x + 0

= f

Also ist G eine Gruppe.

 

G ist abelsch, wenn G kommutativ ist, wenn also gilt:

f,g ∈ G f o g = g o f 

andernfalls ist G nicht-abelsch.

 

Gegenbeispiel zur Kommutativität von G:

Sei f = 2 x + 3 und g = 4 x + 7

Dann:

f o g = ( 2 x + 3 ) o ( 4 x + 7 ) = 2 ( 4 x + 7 ) + 3 = 8 x + 17

und

g o f = ( 4 x + 7 ) o ( 2 x + 3 ) = 4 ( 2 x + 3 ) + 7 = 8 x + 19

=> f o g ≠ g o f

Also ist G nicht-abelsch.

Insgesamt ist G also eine nicht-abelsche Gruppe.

q.e.d.

von 32 k

Wie zeigt man, dass das Inverse Element auch wieder wirklich in der Gruppe ist?

0 Daumen

Die Assoziativität beweist man mit

( f o g ) o h  = f o ( g o h )

und nicht mit

( f o f ) o f  = f o ( f o f )

von

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